Adrian Eisenmeier's Blog

Von Adrian Eisenmeier

Dies ist ein Handout über Rotationskörper für meine Nachhilfeschüler. Das Niveau entspricht der Oberstufe.

Rotationskörper entstehen durch Drehung einer ebenen Kurve um eine in der Kurvenebene liegende Achse. In der Schule wird i.d.R. ausschließlich die Rotation um die x-Achse im kartesischen Koordinatensystem untersucht. Da dies ein Hand Out für die Oberstufe in Mathematik sein soll, wird nur die Rotation um die x-Achse anschaulich behandelt.

Wichtige Anwendung, besser gesagt: Wozu das Ganze? In erster Linie um Volumen zu bestimmen. Berühmtestes Beispiel und Vater der Theorie: Kepler'sche Fassregel zur Bestimmung des Volumen eines Weinfasses, oder wieviel Flüssigkeit bekommt man in ein geschwungenes Glas?

Rotation einer Kurve um die x-Achse

Die über dem Intervall gelegene Kurve mit der Funktionsgleichung erzeuge bei Rotation um die x-Achse einen Rotationskörper.



Dieser wird jetzt durch Schnitte senkrecht zur Drehachse in eine große Zahl n von Scheiben gleicher Dicke zerlegt. Davon sieht man sich nun eine beliebige Scheibe an. Hier grau unterlegt.



Man sieht sofort, dass alle n Scheiben Zylinder mit verschiedenen Radien , aber gleicher Höhe   sind. Ein Zylinder, welcher im Mittelpunkt die x-Achse bestitzt kann ich als Rotation eines Rechteckes um die x-Achse auffassen. Das Volumen einer solchen Zylinderscheibe ist wie bekannt Grundfläche mal Höhe und aufgrund der Symetrie ist die Grundfläche immer ein Kreis. Also



Der Radius ist y, deswegen y zum Quadrat und die Höhe ist Delta x.

Genauso verfährt man mit allen anderen Scheiben. Da die Rechtecke allerdings bei zu breiten Delta x zu ungenau sind, nimmt man einen Grenzwert indem man die Anzahl der Scheiben gegen Unendlich laufen lässt, damit werden die Abstände, also die Höhe der Zylinder immer kleiner und man erhält die Integralformel:

Dieser blog ist in freundlicher Zusammenarbeit mit netscience 2.0

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