Handout Gymnasium Sek II - Polynome und Polynomdivision

Von Adrian Eisenmeier

Dies ist ein Handout über Polynome und die Polynomdivision für meine Nachhilfeschüler. Das Niveau entspricht der Oberstufe.

I. Was Polynome sind

Eine Funktion $p: \begin{cases} \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\\ x \mapsto p(x) \end{cases}$ trägt den Namen "Polynom" bzw. "ganzrationale Funktion", wenn sich die Funktion wie folgt darstellen lässt:

$p(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + \ldots + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n}x^{n}, \ a_{0} \ldots a_{n} \in \mathbb{R}$

Die (in der Schule) reelen Zahlen $a_{i}$ nennt man "Koeffizienten" des Polynom. Insbesondere heißt $a_{n}$ "Leitkoeffizient" und $a_{0}$ "absolutes Glied". Wenn $a_{n} \neq 0$ , so heißt der "Grad" des Polynom. Ist n=1 , dann nennt man das Polynom "normiert".

Um abzukürzen verwendet man in der Darstellung eines Polynom gerne das Summen-Zeichen. Im folgenden seien und zwei Polynome. Also:

$p(x) = \sum\limits_{j=0}^{m} a_{j}x^{j} \$ und $\ q(x) = \sum\limits_{j=0}^{n} b_{j}x^{j}$ mit den natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ als Indexmenge.

Behauptung:
Die Summer zweier Polynome ergibt wieder ein Polynom.

Beweis:

$(p+q)(x) \\ \\= \sum\limits_{j=0}^{m} a_{j}x^{j} + \sum\limits_{j=0}^{n} b_{j}x^{j} \\ \\ = \sum\limits_{j=0}^{m} (a_{j}x^{j} + b_{j}x^{j}) + \sum\limits_{j=m+1}^{n} b_{j}x^{j} \\ \\ = \sum\limits_{j=0}^{m} (a_{j} + b_{j}) x^{j} + \sum\limits_{j=m+1}^{n} b_{j}x^{j} \\ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ \ ~ \ ~ \ ~ \ \ \square$

Bemerkung:
In der nicht-naiven Behandlung von Polynomen lässt sich zeigen, dass mit Polynomen algebraische Strukturen beschrieben werden können. Der Grad ist in obigem Beweis irrelevant, da die Addition eine kommutative Verknüpfung ist. Der Grad des neuen Polynom ist wie zu sehen ist kleiner oder gleich dem höchsten Grad von und .

Nun eine weitere Behauptung die sehr wichtig wird bei den Verfahren zur Nullstellenbestimmung.

Behauptung:
Das Produkt zweier Polynome ergibt wieder ein Polynom dessen Grad die Summer der jeweilgen Grade ist.

Beweis:

$(pq)(x) \\ \\ = \left( \sum\limits_{j=0}^{m} a_{j}x^{j}\right) \left( \sum\limits_{j=0}^{n} b_{j}x^{j} \right) \\ \\ \\ = \sum\limits_{i=0}^{m} \sum\limits_{j=0}^{n} a_{i}b_{j} x^{i+j} \\ \\ \\ = \sum\limits_{k=0}^{m+n} \left( \sum\limits_{l=0}^{k} a_{l} b_{k-l} \right) x^{k} \\ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ \ \square$

II. Hauptsatz der Algebra

Sei ein Polynom, dann lässt sich auch als sog. "faktorisierte Form" wie folgt schreiben:

$p(x) = a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2}) \ldots (x-x_{n})$

Die $(x-x_{i})$ Terme heißen "Linearfaktoren".

Bemerkung:
Jedes Polynom des Grades hat in $\mathbb{C}$ Nullstellen, d.h. lässt sich mit Linearfaktoren darstellen. Der Körper der komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ wird hier nicht behandelt, da dieser den Schulstoff verlässt.

Für reelle Koeffizienten, also ein reelles Polynom gilt:

Ist der Grad ungerade, so existiert mindestens eine reelle Nullstelle.

Das Polynom lässt sich als Produkt reeller Linear- und quadratischer Faktoren schreiben, also:

$p(x) = a_{n}(x-x_{1}) \ldots (x-x_{i}) (x^{2} + a_{1}x + b_{1}) \ldots (x^{2} + a_{l}x + b_{l})$

III. Die Polynomdivision

Seien und Polynome. Eine Funktion $b: \begin{cases} \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\\ x \mapsto b(x) \end{cases}$ trägt den Namen "gebrochen rationale Funktion", wenn sich wohldefiniert schreiben lässt als.

$b(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$

Ist der Grad von kleiner als der von , so heißt "echt gebrochen", sonst "unecht gebrochen".

Was ist die Motivation ein Verfahren wie die Polynomdivision zu entwickeln?

Die Motivation ist eine Umformung um aus einer "komplizierten" gebrochen rationalen Funktion eine "Einfachere" zu machen, mit der sich besser umgehen lässt.

$\frac{s(x)}{q(x)} = r(x) \frac{p(x)}{q(x)}$

Somit wird eine gebrochen rationale Funktion $\frac{s(x)}{q(x)}$ umgeformt in einen ganzrationalen Anteil r(x) und einen echt gebrochen rationalen Anteil $\frac{p(x)}{q(x)}$ .
Dies ist nur dann wohldefiniert, wenn der Grad von p(x) kleiner als der von q(x) ist und der Grad von s(x) größer oder gleich dem von q(x) .

IV. Algorithmus einer Polynomdivision

1.) Der Zähler der gebrochen rationalen Funktion, also s(x) wird so hingeschrieben, dass für jede Potenz Platz ist.

2.) Der Quotient der gebrochen rationalen Funktion, also q(x) wird nebenan geschrieben (nur getrennt vom Divisions-Doppelpunkt), wie bei einer schriftlichen Division üblich.

3.) Durch die Wohldefiniertheit hat man nun immer für beide Terme ein Glied mit höchster Potenz welches an der ersten Stelle steht. Der Quotient dieser beider Glieder ist zu bilden.

4.) Nun wird q(x) mit dem Ergebnis aus Punkt 3. multipliziert. Das Ergebnis ist wie bei einer schriftlichen Division üblich unter s(x) zu schreiben.

5.) Erste und Zweite Zeile werden voneinander abgezogen.

6.) Punkt 3. abwärts wird nun wiederholt. Dies geschieht solange bis die Division mit oder ohne Rest abgeschlossen ist. Kriterium ob es einen Rest gibt ist der Grad der Glieder höchster Ordnung. Sobald der Grad von s(x) kleiner als der von q(x) wird, ist die Division nicht weiter durchführbar.

Beispiele und Musteraufgaben welche das Verständnis abrunden, da man "rechnen nur durch rechnen" lernt sind hier zu finden: