Handout Gymnasium Sek II - Der Kondensator

Von Adrian Eisenmeier

Dies ist ein Handout über den Kondensator für meine Nachhilfeschüler. Das Niveau entspricht der Oberstufe.

Die Theorie der Elektrostatik wird nun praktisch angewendet. Ein Kondensator ist eine Anordnung von zwei Leiterflächen. Diese Anordnung kann beliebig sein, in der Praxis werden es aber gegenüberliegende Platten, Kugelschalen oder Zylinderoberflächen sein.
Beide Flächen tragen betragsmäßig die gleiche Ladung Q, aber mit entgegen gesetztem Vorzeichen.
Das Verhältnis der Ladung zur Spannung U, also zur Potentialdifferenz zwischen den Leiteroberflächen, heißt Kapazität C des Kondensators. Sie ist. i.A. ein sog. Tensor zweiter Stufe, wird hier aber in den einfachsten Fällen von Anordnungen, also Platten, - Kugel, - und Zylinderkondensatoren ein Skalar sein, ein sog. Tensor Nullter Stufe.

$C=\frac{Q}{U}$ Das Verhältnis aus Ladung und Spannung trägt die Einheit Farad (S.I.)

Unter Vernachlässigung von Randerscheinungen kann das E-Feld zwischen den Leiterflächen mit dem Abstand d als homogen angesehen werden und natürlich stehen die Feldlinien senkrecht zur Oberfläche nach der dritten und ersten Maxwellschen Gleichung. (Maxwellsche Gleichungen nach der DPG-Frühjahrstagung 1997)
Das Potential nimmt linear zwischen den Oberflächen von Minus nach Plus zu. Desweiteren liegen die Äquipotentialflächen parallel zu den Leiteroberflächen.

$E=\frac{U}{d}$

Die Kapazität C wird durch den Gaußschen Satz bestimmt indem die geschlossene Fläche nur eine einzige der beiden Leiteroberflächen umschließt. Deswegen ist die Kapazität eine von der Geometrie abhängige Größe.

$C = \varepsilon \varepsilon_{0} \frac{A}{d}$

Epsilon ist die relative Dielektrizitätaskonstante. Für Luft ist sie etwa eins.

Ein Dielektrikum ist ein Nichtleiter. Schiebt man dieses zwischen einen Kondensator der von der Spannungsquelle getrennt wurde steigt seine Kapazität obwohl die Ladung gleichbleibt. Die relative Dielektrizitätskonstante Epsilon gibt an um wieviel dies geschah. Im Vakuum ist sie 1.

$\varepsilon = \frac{C_{\text{Dielektrikum}}}{C_{\text{Vakuum}}}$

Desweiteren sinkt auch das E-Feld und damit auch die Energie. Grund ist die Polarisation welche Dipolmomente induziert.

Um eine Ladung von der einen auf die andere Seite einer Leiteroberfläche zu bringen benötigt man die Arbeit

$\mathrm{d}W= U \mathrm{d}q = \frac{q \mathrm{d}q}{C}$

$W = \int ~ \frac{q \mathrm{d}q}{C}$

$E= \frac{1}{2} \frac{q^{2}}{C} =\frac{1}{2}CU^{2}$

Kondensatoren können in Reihe oder parallel geschalten werden. Es ergibt sich ein Ersatzkondensator mit der Kapazität:

$C = \sum\limits_{i} C_{i} ~ \text{Parallelschaltung}$

$\frac{1}{C} = \sum\limits_{i} \frac{1}{C_{i}} ~ \text{Reihenschaltung}$