Adrian Eisenmeier's Blog

Von Adrian Eisenmeier

Der erste Kontakt mit diesem Thema ist zweifelsfrei unheimlich. Deshalb ein paar Worte von mir dazu und ein Beispiel an Physiker gerichtet. Die Thematik ist im Rahmen der linearen Algebra konsistent aufgebaut. Wer mag, dem sei dazu insbesondere das Lehrbuch von Wüst zu empfehlen, Mathematik für Physiker und Mathematiker.

Warum wollen wir Ko- und Kontravariante Notationen einführen?

Das ist eine berechtigte Frage. Die Antwortet lautet kurz und knapp:

Damit wir unsere Vierervektoren elegant als Invariante unter Lorentztransformationen darstellen können.

Wenn man zum Beispiel den klassischen Vektorraum hat, dann kann man darin ein Skalarprodukt definieren. Skalarprodukte sind positiv definite symetrische Bilinearformen. Ist nichts dazu gesagt, nimmt man immer das kanonische Skalarprodukt das man aus der Schule kennt. Ein Skalarprodukt induziert eine Norm, diese eine Metrik und diese ist invariant unter Rotationen. (Die Länge eines Pfeils bleibt diese Länge, egal wie oft ich ihn hin und her drehe)

Eine solche Invarianz gegenüber den Lorentztransformationen (genau genommen der ganze Gruppe. Galilei, als auch Lorentz Trafos bilden eine Gruppe im math. Sinn) verlangt man vom Abstandsquadrat im Minikowskiraum. Ein solches Element nennt man Vierervektor. Von seiner Metrik verlangt man:



kürzen wir ab:



quadriere (denn wir wollen ja das Längenquadrat) und du stellst fest:



Siehst du den Vorzeichenfehler? Wir haben einen Vierervektor, wollen in quadrieren und verlangen eine Metrik die Lorentzinvariant ist, bekommen aber nicht das richtige Vorzeichen. Die Lösung des Problems lautet:

Beachte den tiefgestellten Index!

Und nun kann man mit dieser obigen definition schreiben:



Der tiefgestellte Index steht für kovariant, der hochgestellte für Kontravariant. Kleine Eselsbrücke: Co steht Below

Das war schon der ganze Spuk. Nun kann man (und man tut es auch) mathematisch weiter machen, die Ko- und Kontravarianten formen mittels metrischen Tensoren ineinander überführen usw. Findet man in Büchern ziemlich ausführlich.

Dieser blog ist in freundlicher Zusammenarbeit mit netscience 2.0

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