Kreisfläche in kartesischen Koordinaten

Von Adrian Eisenmeier

Besonders zu Beginn des Studiums ist vielen unklar wozu man verschiedene Koordinatensysteme nutzt. Den Grund werde ich hier an einem Beispiel verdeutlichen.

Berechnen wir die Kreisfläche in Polarkoordinaten:

$A = \int ~ \mathrm{d}A = \int\limits_{0}^{R} ~ \int\limits_{0}^{2 \pi} r \mathrm{d} \varphi \mathrm{d} r = 2 \pi \frac{R^{2}}{2} = \pi R^{2}$

sehr elegant in Polarkoordinaten.

Nun das Selbe in kartesischen Koordinaten

$A = \int \int \mathrm{d}A = \int \int \mathrm{d}x \mathrm{d}y$

Zeichne einen Kreis in ein kartesisches Koordinatensystem. Es bietet sich an den Ursprung des System als Mittelpunkt zu nehmen. Dann läuft die x-Integration von -R bis R.

Die y-Integration hat dann Werte die von x abhängen. die Untere Grenze ist $- \sqrt{R^{2} - x^{2}}$ und die obere ist $\sqrt{R^{2} - x^{2}}$ (Pythagoras)

Also:

$A = \int\limits_{- R}^{R} ~ \int\limits_{- \sqrt{R^{2} - x^{2}}}^{\sqrt{R^{2} - x^{2}}} \mathrm{d}y \mathrm{d}x$

und nun ausrechnen.

$A = 2 \int\limits_{- R}^{R} \sqrt{R^{2} - x^{2}} \mathrm{d}x$

$= 2 \left[ \dfrac{x}{2} \sqrt{R^{2} - x^{2}} + \dfrac{R^{2}}{2} \arcsin(\dfrac{x}{R}) \right]_{-R}^{R}$

$= R^{2} [ \arcsin(1) - \arcsin(-1) ]$

$= \pi R^{2}$

In Polarkoordinaten macht das irgendwie mehr Spaß würde ich sagen.