Dirac'sche Delta "Funktion" - Anwendungsorientierte Einführung

Von Adrian Eisenmeier

In der Elektrostatik wird man schnell auf den Ausdruck des Elektrischen Feldes für beliebig viele Punktladungen kommen.

$\vec{E}(\vec{r})= \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon _{0}} ~ \sum\limits_{i=1}^{N} ~ \dfrac{q_{i}}{|\vec{r}-\vec{r_{i}}|^{2}} ~ \dfrac{(\vec{r}-\vec{r_{i}})}{|\vec{r}-\vec{r_{i}}|}$

Bei zwei, drei kann man das noch leicht ausrechnen, aber wenn man sich ganze Festkörper ansieht ist das nicht mehr lustig. Die Lösung ist es Verteilungen zu betrachten mittels der Ladungsdichte.

$\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon _{0}} ~ \int \mathrm{d}^{3}r' \ \dfrac{\varphi (r')}{|\vec{r}-\vec{r'}|^{2}} ~ \dfrac{(\vec{r}-\vec{r'})}{|\vec{r}-\vec{r'}|}$

$\varphi (\vec{r'})= \text{ Ladungsdichte } = \dfrac{\sum\limits_{j} ~ q_{j}}{\Delta V} \ [\dfrac{C}{m^{3}}]$

$\int \varphi (\vec{r'}) \ \mathrm{d}^{3}r' = Q(V)$

Diracs Problemstellung: Wie sieht die Funktion $\varphi(\vec{r})$ aus für eine einzige Punktladung an der Stelle $\vec{r_{0}}$ ?

Denn man möchte den Weg ja auch wieder rückwerts gehen. Doch wie sieht die Ladungsdichte bei einer einzigen Punktladung aus? Durch überlegen, oder nachlesen kommt man darauf, dass die Funktion folgende Eigenschaften erfüllen muss:

$\varphi(\vec{r}) = \begin{cases} \ 0 & \text{ wenn } \vec{r} \neq \vec{r_{0}} \\ \neq 0 & \text{ wenn } \vec{r}=\vec{r_{0}} \end{cases} \text{ mit } \int\limits_{V} \mathrm{d}^{3}r \ \varphi(\vec{r}) = \begin{cases} q: & \vec{r_{0}} \in V \\ 0: & \vec{r_{0}} \not\in V \end{cases}$

Diese Forderung macht Sinn, denn wir haben es ja mit einer Punktladung zu tun. Ein Punkt hat in unserer Näherung keine Ausdehnung. Desweiteren sollte sich unsere Ladung innerhalb des Volumens befinden, oder einfach gesagt, wenn der Kühlschrank leer ist, kann man auch kein Essen herausnehmen.

Zur Vereinfachung betrachte ich erstmal den eindimensionalen Fall in kartesischen Koordinaten. Später den verallgemeinerten und die Problematik mit der Dimension der Delta "Funktion" außerhalb kartesischer Koordinaten. Die Delta "Funktion" $\delta (x-a)$ ist definiert als:

$\delta (x-a) = \begin{cases} 0 & \forall \, x \neq a \\ \infty & \exists \, x=a \end{cases} \text{ mit } \int\limits_{b}^{c} \mathrm{d}x ~ \delta(x-a) = \begin{cases}1 & \text{wenn } b \leq a \leq c \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}$

Nun wie kann man sich das vorstellen. Man will eine Funktion, die an einer Stelle unglaublich ausschlägt, deren Peak beinahe unendlich groß ist und sonst Null ist und wenn man sie Integriert muss die Fläche immer konstant 1 Bleiben und sonst Null. Es gibt Unendlich viele Wege eine solche Funktion zu konstruieren. Eine gängige Möglichkeit ist es die Gauß'sche Glockenkurve zu mißbrauchen. In der Literatur wird manchmal dargestellt, dass dies "DER" Weg sei. Das ist ganz sicherlich falsch. Wer lust hat kann sich seine eigene bauen, denn mit unendlich viele Wege zur Delta-"Funktion" meine ich auch unendlich viele im mathematischen Sinne! Man kann sich nun Fragen wie so etwas beispielsweise Stetig sein soll. Ein Grund weshalb ich Anführungsstriche um "Funktion" setze. Da es keine Funktion im herkömmlichen Sinne ist, hat die Mathematik eine ganze Theorie dazu entwickelt. Sie heisst Theorie der Distributionen, ihr zentrales Anwendungsgebiet ist allerdings unsere Fragestellung. Mathematisch ist die Delta-"Funktion" die Ableitung der Heavyside Distribution, mit Vermerk auf weiterführende Literatur.

Spätestens seit der Fehlerrechnung dürfte diese Glockenkurve bekannt sein:

$exp(- \dfrac{(x-a)^{2}}{\eta})$

Eta ist wie man sieht der Faktor, der die Kurve abfallen lässt. Je kleiner Eta wird, desto schärfer wird die Funktion.

Nun macht es Sinn die Glockenkurve mit einem Vorfaktor $\dfrac{1}{\sqrt{\pi \eta}}$ zu versehen. Dieser wurde geschickt gewählt, denn er hat den Vorteil, dass:

$\int\limits_{- \infty}^{\infty} ~ \dfrac{1}{\sqrt{\pi \eta}} ~ exp(- \dfrac{(x-a)^{2}}{\eta}) ~ \mathrm{d}x =1$

Wenn Eta nun kleiner wird wächst der Vorfaktor und die Funktion wird schmäler, aber ihre Fläche bleibt weiterhin 1! Also:

$\delta(x-a) = \lim_{n \to 0} \ \dfrac{1}{\sqrt{\pi \eta}} ~ exp(- \dfrac{(x-a)^{2}}{\eta})$

und damit haben wir das mathematische Hilfsmittel Paul Diracs gefunden, welches Punktteilchen beschreibt.

Die Rechenregeln dazu:

1.) Dimension der Delta "Funktion"

$\delta(x-a)$ hat die Dimension $\dfrac{1}{\text{Laenge}}$ . Das Ergebnis der Integration ist ohne Dimension. Damit das erfüllt ist muss der Integrand obige Dimension haben, sonst würde nichts dimensionsloses heraus kommen. So kürzt sie sich heraus.

2.) Das Produkt der Delta "Funktion" mit einer Funktion f(x)

$\int\limits_{b}^{c} ~ f(x) \delta (x-a) ~ \mathrm{d}x = \int\limits_{b}^{c} ~ f(a) \delta (x-a) ~ \mathrm{d}x$

logischerweise, denn wäre x nicht gleich a wäre dem Integranden f(x) eh egal, da man mit Null multiplizieren würde. f(a) ist wie man sieht damit konstant:

$= f(a) ~ \int\limits_{b}^{c} ~ \delta (x-a) ~ \mathrm{d}x = f(a) \cdot \begin{cases} 0 & \text{wenn } a \not\in ~ [b,c] \\ 1 & \text{wenn } a \in [b,c] \end{cases}$

3.) Symetrie der Delta-"Funktion"

$\delta (x) = \delta (x-0) = \delta (-x)$

4.) Komposition, eine Funktion y(x) als Argument der Delta "Funktion"

$\delta (y(x)) = \begin{cases} \ 0 & \forall x \, \ \ y(x) \neq 0 \\ \neq 0 & \forall x_{i} \, y(x_{i})=0 \end{cases}$

Nur für Nullstellen der inneren Funktion nimmt die äußere einen Wert an.
Wenn das Argument der Delta "Funktion" eine Nullstelle aufweist, dann gilt:

$\delta (y(x)) = \sum\limits_{i} \delta(x-x_{i}) \cdot \dfrac{1}{|\dfrac{dy}{dx}|_{x_{i}} |}$

Denn:

$\int\limits_{- \infty}^{\infty} ~ f(y) \delta(y) ~ \mathrm{d} y = f(y=0)$

nun eine Varianblensubstitution

$\int\limits_{- \infty}^{\infty} ~ f(x) \delta(y(x)) \dfrac{dy}{dx} ~ \mathrm{d}x$

uns interessiert aber

$\int\limits_{- \infty}^{\infty} ~ f(x) \delta(y(x)) ~ \mathrm{d}x$

Abhilfe schafft man mit dem Vorfaktor $\dfrac{1}{\dfrac{dy}{dx}}$

damit wird

$\dfrac{1}{\dfrac{dy}{dx}} ~ \int\limits_{- \infty}^{\infty} ~ f(y) \delta(y) ~ \mathrm{d} y = f(y=0)$

$\dfrac{1}{\dfrac{dy}{dx}} ~ \int\limits_{- \infty}^{\infty} ~ f(x) \delta(y(x)) \dfrac{dy}{dx} ~ \mathrm{d}x$

und damit kürzt man sich den substituierten Term passend, aber die Regel vier findet sich in der ersten Aussage wieder.

Ein Beispiel dazu:

$y(x)=x^{2} - a$

Die Nullstellen sind klarerweise $x_{1} = \sqrt{a}, \ x_{2} = - \sqrt{a}$

nun nach obiger Regel 4:

$\dfrac{dy}{dx}|_{x_{i}} = 2x_{i} = \begin{cases} x_{1} = \ \sqrt{a} & \Rightarrow \ |2\sqrt{a}| \\ x_{2} = - \sqrt{a} & \Rightarrow ~ |-2\sqrt{a}| \end{cases}$

$\delta(x^{2}-a) = \dfrac{\delta(x-\sqrt{a})}{2\sqrt{a}} + \dfrac{\delta(x+\sqrt{a})}{2\sqrt{a}}$

und damit ist der Ausdruck reduziert auf bekannte Delta "Funktionen", bei denen man weiss wie zu integrieren ist.

Delta "Funktion" im 3-Dimensionalen Raum

In kartesisches Koordinaten für den Peak bei $\vec{r_{0}}$

$\delta(\vec{r} - \vec{r_{0}}) = \delta(x-x_{0}) ~ \delta(y-y_{0}) ~ \delta(z-z_{0}) \cdot \dfrac{1}{Laenge^{3}}$

$\int ~ f(\vec{r}) \delta(\vec{r} - \vec{r_{0}}) \mathrm{d}x \mathrm{dy} \mathrm{d}z$

$= \int \mathrm{d}x \int \mathrm{d}y \int \mathrm{d}z \delta(x-x_{0}) ~ \delta(y-y_{0}) ~ \delta(z-z_{0}) f(\vec{r_{0}})$

$= \begin{cases} f(\vec{r_{0}}) & \ \vec{r_{0}} \in V \\ \ 0 & \ \text{sonst} \end{cases}$

Augen auf im Strassenverkehr!

Wie man sieht hat die Delta "Funktion" in kartesischen Koordinaten die Dimension $\dfrac{1}{Laenge} \cdot \dfrac{1}{Laenge} \cdot \dfrac{1}{Laenge} = \dfrac{1}{Laenge^{3}}$

Je nach gewähltem Koordinatensystem, kann die Dimesion sich verändern, denn beispielsweise erfüllen Azimut- und Polarwinkel nicht diese Dimensionsbedingung. Da muss dann je nach System aufgepasst werden was man rechnet.

Die Ladungsdichte einer Punktladung

Zurück zur Elektrostatik und dem Ausgangsproblem:

$\vec{E} (\vec{r}) = \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int\limits_{V} ~ \mathrm{d}^{3} r' ~ \dfrac{\varphi(\vec{r'})}{|\vec{r} - \vec{r'}|^{2}} ~ \dfrac{(\vec{r} - \vec{r'})}{|\vec{r} - \vec{r'}|}$

und nun mit der Delta "Funktion"

$\varphi(\vec{r'}) = q_{0} \delta(\vec{r'}-\vec{r_{0}})$

$= \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} q_{0} \dfrac{(\vec{r}-\vec{r_{0}})}{|\vec{r}-\vec{r_{0}}|} \dfrac{1}{|\vec{r}-\vec{r_{0}}|^{2}}$

und wir sind wieder da wo wir angefangen haben und auch hinwollten.