Adrian Eisenmeier's Blog

Von Adrian Eisenmeier

Wir betrachten folgende Abbildung:

Wie man einen Vektor im kartesischen darstellt wissen wir:



Genau so stellst man auch einen Vektor in Zylinderkoordinaten dar, allerdings mit anderen Basisvektoren, nämlich denen aus dem Zylinderkoordinatensystem die es zu bestimmen gilt.

ist axial nach außen gerichtet.
ist tangential an den Kreis gerichtet.
liegt parallel zur z-Achse.

Axial nach außen, tangential an den Kreis, parallel zur z-Achse. Daraus folgt sofort, dass die drei Basisvektoren rechtwinklig zueinander sind. Der Vektor ist bekannt.

Den kann man sich einfach bilden.

r ist die Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreieckes, welches in der xy-Ebene liegt. Dann bekommt man durch Vektoraddition aus dem x- und dem y-Anteil.




Und z ist Null, weil r und Phi in der xy-Ebene liegen.

Also ist der Vektor der axial nach außen gerichtet ist:



Und damit fehlt jetzt nur noch der letzte Einheitsvektor. Diesen bekommt man jetzt ganz einfach. Wie am Anfang festgestellt sind die drei Vektoren senkrecht zueinander. Also bilden wir einfach das Kreuzprodukt aus aus den beiden die wir schon haben und bekommen somit den dritten geschenkt. Du wirst, wenn du das Kreuzprodukt ausrechnest sofort erhalten



und damit lautet die Abbildung von den Kartesischen Koordinaten in die Zylinderkoordinaten:





Jede lineare Abbildung - diese hier ist sogar abgesehen von der Null ein Diffeomorphismus - impliziert eine Matrix.



Und so transformierst man die Systeme ineinander.

Dieser blog ist in freundlicher Zusammenarbeit mit netscience 2.0

© by Adrian Eisenmeier