Delta-Epsilon Funktion

Von Adrian Eisenmeier

Diracs Delta-"Funktion" wurde in diesem Artikel anwendungsorientiert eingeführt und es wurde abgesehen von einer Frage alles Wichtige dazu geklärt. Die Frage die bleibt lautet natürlich:

"Wie soll das mathematisch funktionieren?!"

Dieser Frage wollen wir hier etwas genauer nachgehen in dem ich die sog. Delta-Epsilon Funktion einführe. Dies ist ein mathematischerer Zugang der die Erkenntnisse aus dem ersten Artikel auf ein mathematischeres Fundament stellen möchte und versucht etwas Klarheit in das Konzept, die Theorie dahinter zu gewinnen.

Ziel ist also eine Wohldefiniertheit der Delta-"Funktion". Das bedeutet sie darf nicht inkonsistent mit dem Bauwerk der Mathematik sein. Es gibt weitere mathematisch elegante Zugänge die auf der Arbeit des französischen Mathematikers Laurent Schwartz beruhen und die sog. Distributionen Theorie dazu einführen.

Wir definieren uns folgendes:

Sei $g \in C^{0}(\mathbb{R})$ eine nicht negative stetige Funktion mit g(x) = 0 für alle $x \in (- \infty, -1 ] \cup [ 1, \infty)$

Desweiteren definieren wir das $\int\limits_{- \infty}^{\infty} g(x) ~ \mathrm{d}x = 1$

Wir definieren ein weitere Funktion Namens $g_{\varepsilon}$ wie folgt:

$g_{\varepsilon} = \frac{1}{\varepsilon} g(\frac{x}{\varepsilon})$

Nun definieren wir die Delta-Epsilon Funktion $\delta_{\varepsilon}$ wie folgt:

$\delta_{\varepsilon}: \begin{cases} C^{0}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}\\ f \mapsto \delta_{\varepsilon}(f) := \int\limits_{- \infty}^{\infty} g_{\varepsilon}(x) f(x) ~ \mathrm{d}x \end{cases} ~ \text{und } \varepsilon > 0$

Dies zu definieren ist erlaubt, denn es verstößt gegen keinen einzigen Satz und keine Axiome der Mathematik. Untersuchen wir das genauer.

Als erstes wissen wir, dass $\int\limits_{- \infty}^{\infty} g(x) ~ \mathrm{d}x = \int\limits_{- 1}^{1} g(x) ~ \mathrm{d}x = 1$ , da wir außerhalb nach Definition eh überall Null bekommen. Zwischen und darf beliebig aussehen. Da müssen wir uns nicht verkrampfen. Zur Veranschaulichung:

Untersuchen wir $g_{\varepsilon}$ genauer. Ich behaupte, dass $g_{\varepsilon}$ innerhalb einer Epsilon-Umgebung genau wie beliebig aussehen darf und außerhalb dieser Epsilon-Umgebung immer Null ist. Falls dies wahr ist, dann folgt auch automatisch, dass $\delta_{\varepsilon}(f)$ nur über die Epsilon-Umgebung integriert werden muss und nicht von Minus bis Plus Unendlich. $\delta_{\varepsilon}(f) = \int\limits_{- \infty}^{\infty} g_{\varepsilon}(x) f(x) ~ \mathrm{d}x = \int\limits_{- \varepsilon}^{\varepsilon} g_{\varepsilon}(x) f(x) ~ \mathrm{d}x$ $g_{\varepsilon}(x) = 0$ ist für $x \leq - \varepsilon$ und $\varepsilon \leq x$

Der Beweis dazu ist trivial. Man setzt einfach nur die Epsilon-Umgebung als Argument in $g_{\varepsilon}$ ein und schon steht es da.

$g_{\varepsilon}(x) = \frac{1}{\varepsilon} g(\frac{x}{\varepsilon})$

Setze also erst $x = - \varepsilon$

$g_{\varepsilon}(- \varepsilon) = \frac{1}{\varepsilon} g(\frac{- \varepsilon}{\varepsilon}) = \frac{1}{\varepsilon} g(-1)$
$g_{\varepsilon}(\varepsilon) = \frac{1}{\varepsilon} g(1) = 0$

Veranschaulicht kann man sich also $g_{\varepsilon}$ wie folgt vorstellen:

Wir erinnern uns, dass $\int\limits_{- 1}^{1} g(x) ~ \mathrm{d}x = 1$ gilt. Ich behaupte nun, dass die Fläche unter $g_{\varepsilon}$ auch eins ist und noch viel drastischer: Ich behaupte, dass die Flächer unter $g_{\varepsilon}$ immer eins ist, selbst wenn ich die Epsilon-Umgebung ändern würde. Was würde geschehen? $g_{\varepsilon}$ $g_{\varepsilon}$ konstant bleibt.

um sich das zu verdeutlichen:

Das muss bewiesen werden. Betrachten wir die Fläche unter $g_{\varepsilon}$ :

$\int\limits_{- \varepsilon}^{\varepsilon} g_{\varepsilon}(x) ~ \mathrm{d}x = \int\limits_{- \varepsilon}^{\varepsilon} \frac{1}{\varepsilon} g(\frac{x}{\varepsilon}) ~ \mathrm{d}x$

Dies ist ein Intgrand der beinahe danach bettelt substituiert zu werden. Wir führen folgende Substitution durch:

$\frac{x}{\varepsilon} =: t$ und wissen damit aus dem obigen beweis sofort, dass $t(- \varepsilon) = -1$ und $t( \varepsilon) = 1$ ist. Dies ist wichtig da beim Substituieren die Grenzen nicht vergessen werden dürfen. Das resultierende Differential lautet dann $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{\varepsilon} \Rightarrow \mathrm{d}x = \varepsilon \mathrm{d}t$ , also haben wir insgesamt:

$\int\limits_{- \varepsilon}^{\varepsilon} g_{\varepsilon}(x) ~ \mathrm{d}x = \int\limits_{- \varepsilon}^{\varepsilon} \frac{1}{\varepsilon} g(\frac{x}{\varepsilon}) ~ \mathrm{d}x = \frac{1}{\varepsilon} \int\limits_{- 1}^{1} g(t) ~ \varepsilon \mathrm{d}t = \frac{1}{\varepsilon} \varepsilon \int\limits_{- 1}^{1} g(t) ~ \mathrm{d}t = 1$

Somit ist die Fläche unter $g_{\varepsilon}$ tatsächlich immer .

Damit ist der Werkzeugkasten der Delta-Epsilon Funktion soweit geklärt. Nun wissen wir jedoch noch immer nicht wie sich die Funktion verhält wenn wir es wirklich mit einem Peak zu tun haben, wie er in der Physik verlangt wird. Betrachten wir also wieder $\delta_{\varepsilon}$

$\delta_{\varepsilon} = \int\limits_{- \varepsilon}^{\varepsilon} g_{\varepsilon}(x) f(x) ~ \mathrm{d}x$

Nun nutzen wir den Mittelwertsatz der Integralrechnung. Nach ihm existiert in der Epsilon-Umgebung ein $\xi_{\varepsilon}$ , womit sich $\delta_{\varepsilon}$ ergibt zu

$f(\xi_{\varepsilon}) \int\limits_{- \varepsilon}^{\varepsilon} g_{\varepsilon}(x) ~ \mathrm{d}x$

Wir haben jedoch bewiesen, dass $\int\limits_{- \varepsilon}^{\varepsilon} g_{\varepsilon}(x) ~ \mathrm{d}x = 1$ für alle Zeiten ist. Daraus folgt also erstaunlicherweise:

$\delta_{\varepsilon} = f(\xi_{\varepsilon})$

Nun darf man nicht glauben, dass ein Grenzwert einer immer kleiner werdenden Epsilon-Umgebung nicht mehr möglich zu bilden wäre, da kein Epsilon mehr explizit auftaucht, jedoch ist $\xi$ in dieser Umgebung und da $g \in C^{0}(\mathbb{R})$ folgt, dass Aufgrund der Stetigkeit ein Grenzwert Epsilon gegen Null automatisch bedeutet, dass $\xi$ gegen Null konvergiert und es gilt daher: $\lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \delta_{\varepsilon}(f) = \lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} f(\xi_{\varepsilon}) = f(0)$