Seid Willkommen auf meinem Blog!

Hier findet ihr einerseits Artikel und lehrreiches Material zur Physik und Mathematik und andererseits einen Einblick in meine, hoffentlich nicht kompakte, Gedankenwelt. Nutzt dazu einfach die folgenden Kategorien:

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Die Gedanken sind frei - Und last bot not least könnt ihr hier Texte lesen, in denen ich meine Meinung zum Wesen der Welt von mir gebe.

Dieser blog ist in freundlicher Zusammenarbeit mit netscience 2.0

© by Adrian Eisenmeier

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Permalink 19.09.09 15:38:09, von adrian E-Mail , 367 Wörter, Kategorien: Startseite , Einen Kommentar hinterlassen »

Geometrische Optik - Handout für Nebenfächler

Von Adrian Eisenmeier

Dies ist ein Handout über geometrische Optik für meine Nachhilfeschüler. Das Niveau ist für Nebenfächler, insbesondere Mediziner.

Die klassische Optik besteht aus drei Bereichen. Dies ist die Wellenoptik, geometrische Optik (auch Strahlenoptik) und die physiologische Optik. Hier geht es nur um die Strahlenoptik. Die Wellennatur des Lichts ist vernachlässigt (keine Beugungseffekte). Es gilt dann:

- in einem (optisch homogenen) Medium sind die Lichtstrahlen (bzw. Lichtwege) Geraden.

- Lichtwege sind umkehrbar.

- das Reflexionsgesetz an Grenzflächen \mathrm{sin} \alpha = \mathrm{\sin} \alpha '

- Snellsiusches Brechungsgesetz n_1 ~ \mathrm{sin} \alpha = n_2 ~ \mathrm{sin} \beta (\alpha einfallend, \beta gebrochen, bezogen auf das Lot)

- Licht breitet sich (in einem nichtmagnetischem Medium) mit der Brechzahl n_1 mit c_1 = \dfrac{c}{n_1} aus.

Optische Abbildungen:

Beschreibung von (ähnlichen) Abbildungen von einem Gegenstands- in einen Bildraum mittels (dünnen) Linsen.

Für positive Brennweite f > 0 entwerfen Sammellinsen bei Gegenstandsweiten

g > 2f ein verkleinertes, reelles Bild,

2f \geq g > f ein vergrössertes reelles Bild,

 g \leq f ein vergrössertes, virtuelles Bild.

Ist die Brennweite negativ, so werden nur virtuelle Bilder entworfen und die Linse ist dann eine Zerstreuungslinse.

Der Kehrwert der Brennweite wird als Brechkraft bezeichnet.

Diese Abbildungen lassen sich graphisch und rechnerisch beschreiben.

Graphisch:

Der Strahlenverlauf wird durch drei Straheln gegeben:

1.) Mittelpunktstrahlen

Dies sind Strahlen durch die Linsenmitte. Sie werden nicht gebrochen.

2.) Parallelstrahlen

Diese verlaufen nach der Brechung durch den bildseitigen Brennpunkt.

3.) Brennpunktstrahlen

Diese gehen durch den dingseitigen Brennpunkt und verlaufen nach der Brechung achsenparallel.

Rechnerisch:

Es gilt das Linsengesetz (auch Gaußsches Abbildungsgesetz genannt):



"Die Summe aus reziproker Gegenstands- und Bildweite entspricht der reziproken Brennweite."

Der Abbildungsmaßstab \beta ist definiert zu



und beschreibt das Verhältnis der Größe des abgebildeten Gegenstands.

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Permalink 06.02.11 20:14:27, von adrian E-Mail , 277 Wörter, Kategorien: Tutorien , Einen Kommentar hinterlassen »

Starre Körper - Handout für Nebenfächler

Von Adrian Eisenmeier

Dies ist ein Handout über starre Körper für meine Nachhilfeschüler. Das Niveau ist für Nebenfächler (Physik für Biologen, Chemiker, Geologen, Mediziner, etc...).

1.)

Reale Körper haben eine Ausdehnung, welche im Modell des Massenpunkes nicht beschrieben wird. Das Modell des starren Körpers ist ebenfalls eine Idealisierung, welches aber in guter Näherung oft anwendbar ist. Reale Körper sind verformbar und die Erweiterung wird deshalb das Modell der deformierbaren Körper werden.

2.)

Die Bewegung eines starren Körpers ergibt sich aus der Translation des Schwerpunktes und der Rotation des Körpers um den Schwerpunkt.


Zur Erinnerung: Der Schwerpunkt \vec{r}_{CM} ist



Bemerkung: Für Vielteilchensysteme wäre dies eine Summe



Für \Delta V \rightarrow 0 und N \rightarrow \infty geht dies, für reale Körper idealisiert, in obige Integraldarstellung über.

3.)

Ein freier starrer Körper hat sechs Freiheitsgrade der Bewegung.

4.)

Wirkt auf einen starren Körper eine Kraft, welche nicht am Schwerpunkt angreift, dann entsteht, bezogen auf den Schwerpunkt, ein Drehmoment. Der Schwerpunkt wird beschleunigt. Der starre Körper erfährt durch diese Kraft also eine Translation des Schwerpunktes und eine Rotation um ihn.


Zur Erinnerung: Der Drehimpuls \vec{L} eines Teilchens mit Ortsvektor \vec{r} (bzgl. eines gegebenen Koordinatenursprungs) ist

\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}

Das zugehörige Drehmoment \vec{N} ist



Es sei betont, dass der Drehimpuls eines Teilchens, auf das kein Drehmoment wirkt, zeitlich konstant ist.

Der gesamte Drehimpuls für den starren Körper ist dann

5.)

Verläuft eine Achse durch den Schwerpunkt und wird der starre Körper an dieser Achse drehbar aufgehängt, dann ist er stabil, da das Drehmoment Null ist. Dies ist eine experimentelle Möglichkeit den Schwerpunkt zu finden.

6.)

Für die Geschwindigkeit v = \omega r ergibt sich die Rotationsenergie E_{rot} zu


E_{rot} = \frac{1}{2} m \omega ^2 r^2

Die Größe mr^2 wird Trägheitsmoment I genannt. [I]= \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^2

Für den ganzen starren Körper ist deshalb

I = \mathlarger{\sum\limits_{i}} ~ m_i r_i_{\perp}^2 und für den Grenzübergang schließlich  I = \mathlarger{\int}_V ~ r_{\perp}^2 \rho ~ \mathrm{d} V. Es sei betont, dass r_{\perp} der Abstand des Massenelements \mathrm{d}m zur Drehachse ist. Rotationsenergie ist also

7.)

Das Trägheitsmoment lässt sich interpretieren als das Verhältnis von Drehmoment zur Winkelbeschleunigung.

8.)

Aus der Definition des Trägheitsmoments folgt, dass es immer auf eine bestimmte Drehachse bezogen ist. Die tabellierten Trägheitsmomente I_{CM} beziehen sich i.d.R. auf eine durch den Schwerpunkt gehende Drehachse (Schwerpunktachse). Hat man im Abstand h eine Drehachse, die parallel zu dieser Schwerpunktachse ist, so erhält man mit dem Satz von Steiner das Trägheitsmoment bzgl. der Parallelachse.


I = I_{CM} + mh^2

9.)

Der Drehimpuls lässt sich nun auch schreiben als \vec{L} = I \vec{\omega}. Dies folgt mit \vec{v}_i = \vec{\omega} \times \vec{r}_i. Das Drehmoment lässt sich ebenfalls mit dem Trägheitsmoment ausrechnen. Es gilt \vec{N} = I \vec{\alpha}.

10.)

Die Leistung P ergibt sich aus P= \dfrac{\mathrm{d} E_{rot}}{\mathrm{d} t} zu P = \vec{N} \cdot \vec{\omega}


Es sei betont, dass die Leistung maximal wird, wenn das Drehmoment parallel zur Winkelgeschwindigkeit ist.

11.)

Translation und Rotation sind analog beschrieben, wie in folgender Gegenüberstellung zusammenfassend zu sehen ist:


12.)

Ein paar typische Prüfungsfragen:


Eine Kugel, ein Zylinder und ein Ring besitzen je denselben Durchmesser und dieselbe Masse.Welches Objekt rollt am schnellsten eine schräge Ebene hinab?

Welches Gesetz nutzt die Eisläuferin bei der Pirouette aus?

Auf einem Drehstuhl sitzt eine Person und hält ein rotierendes Rad. Was passiert, wenn es die Drehachse des Rades verkippt?

Erläutere die Energieerhaltung beim Jojo (Maxwell-Rad).

Eine Kugel rollt ohne zu rutschen und ohne Energieverluste eine schräge Ebene hinunter und durch einen Looping. Aus welcher Höhe muss die Kugel starten, um durch den Looping zu kommen?

Wie kann das Trägheitsmoment gemessen werden?

Wie kann die Leistung eines Motors gemessen werden?

Quellen:

Experimentalphysik 1, Demtröder, Springer, 4. Auflage

Prüfungstrainer Experimentalphysik, Mertins, Spektrum, 1. Auflage

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Permalink 16.01.11 14:57:33, von adrian E-Mail , 636 Wörter, Kategorien: Tutorien , Einen Kommentar hinterlassen »

Unterschiede des Phasenraums in Newtonscher, Lagrangescher und Hamiltonscher Mechanik

Von Adrian Eisenmeier

Mit dem Phasenraum arbeitet man in der Newtonschen, Lagrangeschen und Hamiltonschen Mechanik. Deswegen finde ich es sehr unglücklich formuliert, wenn dies oft mit der Hamilton Theorie erklärt wird.

Im folgenden möchte ich den Begriff Phasenraum zwischen Newtonscher und Lagrangscher Mechanik zur Hamiltonschen Mechanik erklären.

Der Phasenraum bei Newton und Lagrange ist ein anderer als bei Hamilton. Komme ich gleich dazu. Erst ein Beispiel weshalb man überhaupt einen Phasenraum möchte.

Der Phasenraum ist für ein vorgegebenes System anschaulicher als der Konfigurationsraum. Das liegt daran, dass Trajektorien in ihm schlicht liegen, im Konfigurationsraum aber nicht. Konkret bedeutet das:

Man spannt durch generalisierte Koordianten einen 3N-s dimensionalen Konfigurationsraum auf. s sind die holonomen Zwangsbedingungen. Hier passiert schon sehr viel, denn der 3N dim. Raum ist ein gewöhnlicher euklidischer Raum. Der 3N-s dimensionale Raum hingegen kann sich jedoch in Geometrie und Topologie drastisch davon unterscheiden! Nimm als Beispiel Pendel. Ein sphärisches Pendel beschreibst du auf einer Kugeloberfläche, ein Doppelpendel sogar auf einem Torus. Das sind große Unterschiede.

Durch generalisierte Kooridinaten und generalisierte Impulse (ich habe generalisiert bewusst doppelt geschrieben, denn generalisierte Impulse können sich von nicht Generalisierten Unterscheiden ) wird der Phasenraum aufgespannt. Dieser Raum ist dann natürlich 2m dimensional, mit m generalisierten Koordinaten und Impulsen. Also somit - das sollte man extra erwähnen, weil es wichtig ist - von gerader Dimension.

Die Pointe ist nun:

Ist ein klassisches, mechanisches System konservativ-skleronom, dann ist es möglich, dass im Konfigurationsraum durch einen festen Punkt unendlich viele Trajektorien laufen können! Im Phasenraum ist dies nicht möglich.

Deshalb ist z.B. der Satz von Liouville auch nur im Phasenraum sinnvoll.

Dies ist übrigens nicht wirklich Physik, sondern Mathematik, konkret die Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen, Stichwort: Orbits autonomer Systeme.

Im folgenden möchte ich nun den Unterschied von Newtonscher und Lagrangescher - sowie Hamiltonscher Mechanik im Bezug der unterschiedlichen Phasenräume erklären:

Mathematisch präziser ist ein Konfigurationsraum eine Mannigfaltigkeit M^m, die endlicher Dimension ist und glatt sein soll. Eine Trajektorie ist dann eine Kurve \gamma: [a,b] \rightarrow M^m in diesem Konfigurationsraum.

Die Geschwindigkeit ist dann offensichtlich \dot{\gamma}: [a,b] \rightarrow TM^m und verläuft im Tangentialbündel des Konfigurationsraumen und dies, genau dies ist der sogenannte Phasenraum.

Nebenbemerkung: Tangenten dürfen angelegt werden, da wir hier keinen Wert auf rein intrinsische Definitionen geben (Stichwort Äquivalenz von algebr., geometr. und phys. def. eines Tangentenvektors).

Aufgrund des Abstandsbegriffs liegt der Newtonschen Mechanik eine Riemannsche Mannigfaltigkeit zugrunde.

Die Mechanik nach Lagrange ist für Finslersche Mannigfaltigkeiten definiert. Diese unterscheidet sich nicht wesentlich von der Riemannschen. Es wird hier eine Lagrange-Funktion \mathcal{L} eingeführt. Diese ist auf

\mathcal{L}: TM^m \rightarrow \mathbb{R}

definiert als die Differenz der kinetischen Energie T: M^m \rightarrow \mathbb{R} und potentiellen Energie V: M^m \rightarrow \mathbb{R} :

\mathcal{L} := T-V \circ \pi

mit \pi: TM^m \rightarrow M^m sowie \mathrm{d}\pi \circ \mathcal{F}. Klar, denn Kraft nach dem Newtonschen Axiom ist ein Vektorfeld \mathcal{F} auf TM^m und

\mathrm{d} \pi : TTM^m \rightarrow M^m ist dann das Differential der Projektion \pi.

Die Pointe hier ist nun:

Man definiert die Legendre-Transformation \mathfrak{L}: TM^m \rightarrow T^{*}M^m.

Der Punkt ist nun, dass du einen Wechsel hast und zwar vom Tangentialbündel in das Kotangentialbündel! 

Diejenigen Lagrangeschen Systeme die für diese Transformation wohldefiniert sind werden zusammengefasst in der Klasse der hyperregulären mechanischen Systeme. Für diese ist die Lagrangetransformation insbesondere bijektiv.

Hat man also ein hyperreguläres Lagrangesches System, eine Legendre-Transformation und die Gesamtenergie E: TM^m \rightarrow \mathbb{R}, dann definiert man die Hamilton Funktion \mathcal{H} eines Systems als

\mathcal{H} := E \circ \mathfrak{L}^{-1}

Dem System liegt dann eine symplektische Mannigfaltigkeit zugrunde. Die mathematische Physik dahinter könnem wir auch gerne in einem Thread vertiefen, wenn das gewünscht ist.

Also zusammenfassend nochmal: Der Phasenraum wechselt zwischen Newton/Lagrange und Hamilton Mechanik vom Tangentialbündel in das Kotangentialbündel.

Quellen:

Vektoranalysis, Agricola-Friedrich, Vieweg + Teubner, 2 Auflage

Theoretische Physik I, Reineker-Schulz, Wiley-VCH, 2009

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Permalink 19.12.10 18:43:24, von adrian E-Mail , 614 Wörter, Kategorien: Physik , Einen Kommentar hinterlassen »

Wohldefiniertheit von reversiblen Kreisprozessen in pV- und Ts Darstellung

Von Adrian Eisenmeier

In fast allen Lehrbüchern zur Thermodynamik und statistischen Physik, als auch physikalischen Chemie, wird erklärt wie reversible Kreisprozesse in Druck-Volumen (pV) und Temperatur-Entropie (Ts) Darstellung aussehen. Leider wird dabei jedoch fast niemals begründet, weshalb dies überhaupt möglich ist und noch wichtiger: Weshalb dies wohldefiniert ist.

Ich möchte deshalb einen Existenz- und Eindeutigkeitsbeweis vorführen, weshalb reversible Kreisprozesse überhaupt in einem pV- als auch Ts Diagramm angeben werden dürfen.

Existenz:

Arbeit A wird in mechanischer Form geleistet. Sie berechnet sich als

A := \mathlarger{\oint_\gamma} \mathrm{d}A = - \mathlarger{\oint_\gamma} p \mathrm{d}V

Es gilt aber - \mathrm{d} \left( p \mathrm{d} V \right) = \mathrm{d} V \land \mathrm{d}p und deshalb folgt aus dem Integralsatz von Stokes, dass die gesamte Arbeit der von \gamma eingeschlossenen Fläche in dieser pV-Darstellung entspricht.

Ferner gilt der erste Hauptsatz der Thermodynamik. Dieser lautet:

Es existieren zwei (nicht-notwendig exakte) 1-Formen \mathrm{d}A (Arbeitsform) und \mathrm{d}Q (Wärmeform) auf der Parameter-Mannigfaltigkeit N^r derart, dass die Summe \mathrm{d}A + \mathrm{d}Q = \mathrm{d}E eine exakte geschlossene Form ist. E ist dann die Energie des thermodynamischen Systems.

\mathrm{d}E = \mathrm{d}A + \mathrm{d} Q

Wir integrieren ihn über die prä-Jordan-Kurve \gamma. Die Einsformen der Wärme sowie Arbeit im 1. Hauptsatz sind nicht exakt, aber ihre Summe insbesondere muss exakt und geschlossen sein. Daraus folgt aber, dass die Integration über den ersten Hauptsatz verschwindet. Dies lässt sich so interpretieren, dass die innere Energie wieder den Startwert besitzt. Es ist also:

0 = \mathlarger{\oint_\gamma} \mathrm{d}E = \mathlarger{\oint_\gamma} \mathrm{d} A + \mathlarger{\oint_\gamma} \mathrm{d} Q

Ausserdem müssen wir verlangen, dass der Kreisprozess reversibel ist. Das bedeutet, dass die Abbildung von der Mannigfaltigkeit der Zustände nach \mathbb{R} stetig sein muss, denn sonst wären es Phasenübergänge und keine Prozesse. In der Natur ist dies natürlich nur als Näherung erfüllt. Ferner verlangt die Reversibilität, dass Entropieänderungen innerhalb des Systems verschwinden.

Aufgrund der Reversibilität bleibt die Entropie also invariant. Deshalb können wir hier jetzt den 2. Hauptsatz der Thermodynamik nutzen. Dieser lautet:

Die 1-Form \dfrac{\mathrm{d}Q}{T} =\mathrm{d}S ist eine exakte geschlossene Form.

Im allgemeinen ist ein thermodynamisches System deshalb ein Quadrupel (N^r, T, \mathrm{d}A, \mathrm{d}Q) wobei N^r die Parametermannigfaltigkeit und T: N^r \rightarrow \mathbb{R} die Temperatur ist (welche nach dem Nullten Hauptsatz existiert und positiv ist) sowie aus den Arbeits-1-Formen \mathrm{d}A und Wärme-1-Form  \mathrm{d}Q, derart dass die 1-Formen \mathrm{d}A + \mathrm{d}Q  und \frac{\mathrm{d}Q}{T} exakte, geschlossene 1-Formen sind. Als Konsequenz existiert eine kanonische Abbildung die jedem Hamilton'schen-System (M^{2m}, \omega) ein thermodynamisches System zuordnet. M^{2m} ist hier natürlich eine Mannigfaltigkeit gerader Dimension und \omega die geschlossene, nicht ausgeartete symplektische 2-Form.

Somit folgt jedoch

0 = \mathlarger{\oint_\gamma} \dfrac{ \mathrm{d} Q}{T}

woraus die Aussage folgt. \blacksquare

Eindeutigkeit:

Um die Eindeutigkeit zu zeigen müssen wir einen Hilfssatz formulieren, aus welchem wir jedoch die Eindeutigkeit des Ts-Diagramms geschenkt bekommen.

Lemma:

Es ist

\dfrac{ \partial (p,V)}{ \partial (T,S) } = 1

Beweis:

Sei   die Jacobi-Determinante

der thermodynamischen Abbildungen p(T,S), ~ V(T,S). Untersuche das totale Differential



Dabei sind \mathrm{d}T und \mathrm{d}S wie folgt:



  

und natürlich ist \dfrac{ \mathrm{d}p}{\mathrm{d}p} =1. Hier setzen wir \mathrm{d}p ein und erhalten



Betrachte beim Ausklammern bei beiden Summanend jeweils nur den ersten Term. Dies ist



Der jeweils zweite Ausdruck hingegen ist

 

Deshalb lässt sich der gesamte Ausdruck schreiben als



Aufgrund der Maxwell-Relationen ist aber



und

\left( \dfrac{\partial T}{ \partial p} \right)_V = \left( \dfrac{\partial V}{ \partial S} \right)_T

sowie

\left( \dfrac{\partial S}{ \partial p} \right)_V = - \left( \dfrac{\partial V}{ \partial T} \right)_S

und damit folgt die Behauptung. \blacksquare

Dank diesem Lemma gewinnen wir nun die Eindeutigkeit des Ts-Diagramms automatisch, weil die Funktionaldeterminante in der Transformationsformel gleich 1 ist und zusammen mit dem Wissen, dass jedes Maß  insbesondere Inhalt ist vererbt sich ebenfalls die Freiheit der Parametrisierung der von \gamma eingeschlossenen Fläche. \blacksquare

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Permalink 18.12.10 19:57:24, von adrian E-Mail , 857 Wörter, Kategorien: Physik , Einen Kommentar hinterlassen »

Energie-Grundumsatz eines Menschen - Erster Einblick

Von Adrian Eisenmeier

Menschen müssen essen. Vernachlässigen wir jeden sozialen Aspekt und fragen uns physikalisch, was das heisst. Wozu essen wir überhaupt? Wir essen um Energie zu bekommen. Energie für die metabolischen Prozesse der Körperzellen, für die Kontraktion unserer Muskelatur und für die Umwandlung in Körperwärme. Energie geben wir in der Einheit Joule an und es gilt hierfür folgende Energiebilanz: 

E_A = E_M + E_B - E_N

Dabei ist E_A die insgesamt aufgenommene Energie und E_M die metabolisierte Energie. E_N ist die Energie, die vom Körper nicht verwendet werden kann. Diese rührt in erster Linie von Ballaststoffen wie z.B. Cellulose-Verbindungen her und kann zum größten Teil nicht in der  Darmflora gespalten werden. E_B hingegen ist die Energie, die wir aus Ballaststoffen gewinnen. Diese ist jedoch sehr klein.

Jeder Mensch hat einen täglichen Energieumsatz \hat E. Er besagt, wieviel Energie man in einer Stunde verbraucht. Dieser Energieumsatz hängt offensichtlich von vielen Größen ab. Vom Alter, vom Geschlecht und insbesondere von den Tätigkeiten, die man verrichtet. Angegeben wird er in Watt. Ihn experimentell zu bestimmen ist, wenn man gründlich sein will, sehr kompliziert. Ich verweise auf folgende Quelle, die diese Thematik sehr gut verdeutlicht:

Correlating Objective Measurements of Crispness of Breaded Chicken Nuggets with Sensory Crispness, Anatoria, Mallikarjunan, Duncan, Food 68 Science, 1308-1315. 

Ich möchte ein paar experimentell bestimmte, gemittelte Beispieldaten geben:


Quelle: Physical properities of foods and food processing systems, Lewis, Woodhead Publishing Cambridge, 1996

Eine praktische Abschätzung, um für sich selbst den Energieumsatz zu berechnen, ist die folgende:
Experimentell kennt man den gemittelten Energieumsatz eines Menschen. Diese Größe lässt sich mit obiger Quelle konkretisieren indem der interessierte Leser sucht, welche Klasse von Probanden in etwa dem eigenen Tagesablauf entsprechen. Dieser experimentell bestimmte Energieumsatz wird mit der mittleren Körperoberfläche A gewichtet.

Ein aus diesen Daten standardisierter Wert ist \dfrac{\hat E}{A} = 58 ~ \mathrm{W \cdot m^{-2}}

Multipliziert man nun diesen Wert mit seiner eigenen Körperoberfläche A_{\text{eigen}}, so erhält man eine Abschätzung für den Energieumsatz in Watt:

P = \dfrac{\hat E}{A} \cdot A_{\text{eigen}}

Bei einem Menschen, der im Schnitt 1.75 ~ \mathrm{m} groß ist, ergibt dieser Wert exakt 100 Watt. Daher rührt auch der oft gehörte Spruch, dass ein Mensch die Leistung einer Glühbirne habe.

Eine berechtigte Frage ist nun, wie man seine eigene Körperoberfläche bestimmt. Dazu gibt es ebenfalls eine sehr gute Approximationsformel, welche in folgender Quelle ausführlich hergeleitet wird:

Ultrasonic monitoring of sol-gel transitions of natural hydrocolloids, Toubal, Boulenguer, Food-Engineering 58: 1-4

Nach ihr ist:

 A/m^2 = \left( \text{Masse}/ \mathrm{kg} \right)^{0.5378} \cdot \left( \text{K\"orpergr\"osse}/ \mathrm{cm} \right)^{0.3964} \cdot 0.024265

Rechnen wir also die Energie E aus, die ein Mensch ungefähr an einem Tag benötigt. Diese ergibt sich dann klarerweise zu

E = \hat E \cdot t = 100 ~ \mathrm{W} \cdot 24 \cdot 3600 ~ \mathrm{s} = 8640 ~ \mathrm{kJ}

In die Einheit \mathrm{kcal} umgerechnet, ergibt dies 2067 ~ \mathrm{kcal}. In den meisten Ernährungsratgebern und Diätzeitschriften steht, dass man 2000 ~ \mathrm{kcal} am Tag zu sich nehmen soll. Nun wissen wir woher dieser Wert stammt.

Eine andere Approximation zur Berechnung des Grundumsatzes geht über das Körpergewicht. Dieser Zugang ist jedoch weniger genau, da eine reine Überschlagsrechnung über das Körpergewicht völlig außer Acht lässt, wie hoch der Körperfettanteil einer Person tatsächlich ist. Dieser geht in die Rechnung mit der Körperoberfläche ebenfalls nicht mit ein. Doch es ist in guter Näherung davon auszugehen, dass jemand, der trainiert ist, eine geringere Körperoberfläche besitzt als jemand mit starkem Übergewicht. Trotzdem möchte ich diese Formel kurz skizzieren:

Der Energieumsatz wird hier gewonnen, indem das eigene Körpergewicht mit dem Faktor \dfrac{1 ~ \mathrm{kcal}}{h \cdot kg} multipliziert wird. Für eine Durchschnittsperson von 65 ~ \mathrm{kg} ergibt dies einen Energieumsatz von 75 ~ \mathrm{W}.

Quellen:
Ludger Figura, Lebensmittelphysik - Physikalische Kenngrößen - Messung und Anwendungen, Springer, 2004
Physical properities of foods and food processing systems, Lewis, Woodhead Publishing Cambridge, 1996
Ultrasonic monitoring of sol-gel transitions of natural hydrocolloids, Toubal, Boulenguer, Food-Engineering 58: 1-4
Correlating Objective Measurements of Crispness of Breaded Chicken Nuggets with Sensory Crispness, Anatoria, Mallikarjunan, Duncan, Food 68 Science, 1308-1315

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Permalink 18.12.10 17:27:50, von adrian E-Mail , 630 Wörter, Kategorien: Physik , 1 Kommentar »

Was sind komplexe Zahlen? - Einführung für Naturwissenschaftler

Von Adrian Eisenmeier

Die Mathematiker im alten Italien hatten folgendes Problem. Dies ist soweit ich informiert bin die originale Problemstellung. Wir haben eine Parabel (Polynom zweiten Grades) die wie folgt lautet.

x^{2} -2x + 2= 0

Lösen wir sie, zum Beispiel mit der pq-Formel. Quadratische Ergänzung führt zum selben Ziel. Das führt auf:

x = 1 \pm \sqrt{-1}

Tja, jetzt hat man ein Problem mit den Zahlen die man bis dato kennt. \sqrt{-1} ist nicht erlaubt.  

Also definieren wir uns etwas. (In der theoretischen Fortsetzung wird diese Definition klarer werden)

Wir setzen \sqrt{-1} = \pmb i (Ingenieure nutzen hier fast immer \pmb j, aber das ist nur ein Buchstabe)

Damit lautet die Lösung unserer Parabel: x = 1 \pm \pmb i

Untersuchen wir die Parabel mal etwas allgemeiner und führen an ihr elementare Rechenumformungen um. Eine allgemeine Form wäre

ax^{2} +bx + c = 0 und ich verlange mal a > 0. Dies kann man nun wie folgt umformen. (Reine Rechenspielerei, kann und soll jeder verifizieren)

ax^{2} +bx + c = 0

= a \left( x^{2} + \dfrac{b}{a}x \right) + c

= a \left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^{2} + c - \dfrac{b^{2}}{4a}

Also haben wir immer noch die selbe Parabel, jedoch nun in der Gestalt:

 \left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^{2} = \dfrac{b^{2} -4ac}{4a^{2}} und quadratwurzeln:

  x + \dfrac{b}{2a} = \dfrac{\sqrt{b^{2} -4ac}}{2a}  Stellen nach x um:

 x = - \dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{1}{2a}\sqrt{b^{2} -4ac} 

Ein Blick auf die Diskriminante. Ist b^{2} > 4ac erhält man zwei unterschiedliche reele Lösungen. Ist b^{2} = 4ac gibt es zwei gleiche Lösungen und ist b^{2} < 4ac so benötigen wir wieder die komplexe Hilfe. Wir interessieren uns natürlich für den komplexen Fall. Somit lässt sich, ganz nach obigen Einführungsbeispiel der Ausdruck auch schreiben als:

x = - \dfrac{b}{2a} \pm \pmb i  \dfrac{1}{2a}\sqrt{4ac - b^{2}}

Wobei \sqrt{4ac - b^{2}} reel ist. (Man denke an die Definition von \pmb i)

Kommen wir dazu was eine Komplexe Zahl sein soll. Bis jetzt haben wir ja "nur" \sqrt{-1} = \pmb i definiert. Das ist aber noch keine komplexe Zahl. Ergo: Was ist eine komplexe Zahl?

Eine komplexe Zahl z ist jede Summe zweier reeller Zahlen x und y von der Form:

z = x + \pmb i y Dies ist die sogenannte Standard-Darstellung. (Der Name impliziert bereits, dass es auch andere Darstellungen gibt)

Die Zahl x bezeichnet man als den Realteil einer komplexen Zahl z und y als den Imaginärteil. Hier sei noch extra betont: y alleine ist der imaginäre Teil. Nicht  \pmb i y!

Man notiert dies wie folgt:

x= \Re ~ z und y = \Im ~ z Ein schön verziertes R wie Realteil und I wie Imaginärteil.

Falls x=0 ist die komplexe Zahl z also rein imaginär und falls y=0 ist sie rein reel. Darauf folgt unmittelbar: Die Zahlen die man bis dato kannte sind in den komplexen Zahlen enthalten. Die reellen Zahlen sind also eine Untermenge der komplexen Zahlen und haben alle Null als Imaginärteil.

Alle komplexen Zahlen muss man natürlich irgendwie zusammen fassen können. So wie ihr das bis jetzt mit \mathbb{R} für die Menge der reellen Zahlen kanntet, so lautet die Menge aller komplexen Zahlen \mathbb{C}, so wie complex. Wenn z also eine komplexe Zahl ist, dann notiert man um dies zu verdeutlichen z \in \mathbb{C}

Man beachte besonders: \pmb i^{2} = -1

Also wäre zum Beispiel:

\pmb i^{3} = \pmb i^{2} \pmb i  = -1 \pmb i = - \pmb i

Weil man \pmb -i  schreiben kann als  0 + (-1) \pmb i ist \Re ~ \pmb i^{3} = 0 und \Im ~ \pmb i^{3} = -1


Für zwei komplexe Zahlen gelten folgende Grundrechenarten: (Im Theorie Artikel werden diese natürlich alle bewiesen)

Zwei komplexe Zahlen z_{1} und z_{2} heißen gleich, also

z_{1}=z_{2}, wenn x_{1} = x_{2} [u]und[/u] y_{1} = y_{2} gilt.

Die Summe zweier komplexer Zahlen z_{1} und z_{2} lautet:

z_{1} + z_{2} = (x_{1} + \pmb i y_{1}) + (x_{2} + \pmb i y_{2}) = (x_{1} + x_{2}) + \pmb i (y_{1} + y_{2})


Die Differenz wird analog berechnet, also:

z_{1} - z_{2} = (x_{1} + \pmb i y_{1}) - (x_{2} + \pmb i y_{2}) = (x_{1} - x_{2}) + \pmb i (y_{1} - y_{2})

Das Produkt von z_{1} und z_{2} ist minimal aufwendiger:

z_{1} \cdot z_{2} = (x_{1} + \pmb i y_{1}) \cdot (x_{2} + \pmb i y_{2})

 = x_{1}x_{2} + \pmb i y_{1} x_{2} + x_{1} \pmb i y_{2} + \pmb i y_{1} \pmb i y_{2} 

 = x_{1}x_{2} + \pmb i y_{1} x_{2} + \pmb i x_{1} y_{2} + \pmb i^{2} y_{1}y_{2} 

 = x_{1}x_{2} + \pmb i y_{1}x_{2} + \pmb i x_{1}y_{2} - y_{1}y_{2} (weil \pmb i ^{2} = -1)

 = (x_{1}x_{2} - y_{1}y_{2}) + \pmb i (y_{1}x_{2} - x_{1}y_{2} )

Eine Division können wir leider noch nicht bilden, weil uns dazu der Begriff des sogenannten komplex konjugierten fehlt, also:

Ist z = x + \pmb i y eine komplexe Zahl, dann heißt \bar z = x - \pmb i y das zu z komplex konjugierte \bar z Es wurde also "nur" ein Vorzeichen geändert. Achtung: Die Physik notieren das komplex Konjugierte mit einem Stren anstatt mit einem Querstrich wie wir das eben taten. Dafür nutzt die Mathematik den Stren für anderes. Man muss also obacht geben wer zu einem spricht. Physiker oder Mathematiker.

Weiter gilt:

 z \bar z = x^{2} + y^{2}

Betrachten wir mit diesem Wissen den Kehrwert einer komplexen Zahl.

\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{x + \pmb i y} = \dfrac{1}{x + \pmb i y} ~ \dfrac{x - \pmb i y}{x - \pmb i y}  = \dfrac{x - \pmb i y}{x^{2} + y^{2}} = \dfrac{x}{x^{2} + y^{2}} - \pmb i \dfrac{y}{x^{2} + y^{2}}  

und haben somit den Kehrwert einer komplexen Zahl wieder in der Standard-Darstellung stehen. Das lässt sich nutzen wenn man Division behandeln möchte, da man das Ergebnis wieder in die gewünschte Darstellung bringen kann.

Die Division zweier komplexen Zahlen z_{1} und z_{2}:

\dfrac{z_{1}}{z_{2}} = \dfrac{(x_{1} + \pmb i y_{1}) (x_{1} - \pmb i y_{1})}{(x_{2} + \pmb i y_{2}) (x_{2} - \pmb i y_{2})}

 = \dfrac{  (x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}) + \pmb i ( x_{2}y_{1} - x_{1}y_{2} ) }{x_{2}^{2} + \pmb i y_{2}x_{2} - \pmb i x_{2}y_{2} + y_{2}^{2} } 

 = \dfrac{ ( x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} ) + \pmb i ( x_{2}y_{1} - x_{1}y_{2} ) }{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}

Ein paar weitere Eigenschaften komplex konjugierter Zahlen:

 \overline{z_{1} + z_{2}} = \bar z_{1} + \bar z_{2}

 \overline{z_{1}z_{2}} = \bar z_{1} \bar z_{2}

\overline{\left( \dfrac{z_{1}}{z_{2}} \right) } = \dfrac{\bar z_{1}}{ \bar z_{2}}

x = \Re ~ z = \dfrac{1}{2} (z + \bar z) und y = \Im ~ z = \dfrac{1}{2 \pmb i} (z - \bar z)

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Permalink 19.09.09 19:48:09, von adrian E-Mail , 942 Wörter, Kategorien: Mathematik für Physiker , 2 Kommentare »

Delta-Epsilon Funktion

Von Adrian Eisenmeier

Diracs Delta-"Funktion" wurde in diesem Artikel anwendungsorientiert eingeführt und es wurde abgesehen von einer Frage alles Wichtige dazu geklärt. Die Frage die bleibt lautet natürlich:

"Wie soll das mathematisch funktionieren?!"

Dieser Frage wollen wir hier etwas genauer nachgehen in dem ich die sog. Delta-Epsilon Funktion einführe. Dies ist ein mathematischerer Zugang der die Erkenntnisse aus dem ersten Artikel auf ein mathematischeres Fundament stellen möchte und versucht etwas Klarheit in das Konzept, die Theorie dahinter zu gewinnen.

Ziel ist also eine Wohldefiniertheit der Delta-"Funktion". Das bedeutet sie darf nicht inkonsistent mit dem Bauwerk der Mathematik sein. Es gibt weitere mathematisch elegante Zugänge die auf der Arbeit des französischen Mathematikers Laurent Schwartz beruhen und die sog. Distributionen Theorie dazu einführen.

Wir definieren uns folgendes:

Sei g \in C^{0}(\mathbb{R}) eine nicht negative stetige Funktion mit g(x) = 0 für alle x \in (- \infty, -1 ] \cup [ 1, \infty)

Desweiteren definieren wir das \int\limits_{- \infty}^{\infty} g(x) ~ \mathrm{d}x = 1

Wir definieren ein weitere Funktion Namens g_{\varepsilon} wie folgt:

g_{\varepsilon} = \frac{1}{\varepsilon} g(\frac{x}{\varepsilon})

Nun definieren wir die Delta-Epsilon Funktion \delta_{\varepsilon} wie folgt:



\delta_{\varepsilon}: \begin{cases}    C^{0}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}\\   f \mapsto \delta_{\varepsilon}(f) := \int\limits_{- \infty}^{\infty} g_{\varepsilon}(x) f(x) ~ \mathrm{d}x \end{cases} ~ \text{und } \varepsilon > 0

Dies zu definieren ist erlaubt, denn es verstößt gegen keinen einzigen Satz und keine Axiome der Mathematik. Untersuchen wir das genauer.

Als erstes wissen wir, dass \int\limits_{- \infty}^{\infty} g(x) ~ \mathrm{d}x =  \int\limits_{- 1}^{1} g(x) ~ \mathrm{d}x = 1, da wir außerhalb nach Definition eh überall Null bekommen. Zwischen -1 und 1 darf g beliebig aussehen. Da müssen wir uns nicht verkrampfen. Zur Veranschaulichung:



Untersuchen wir g_{\varepsilon} genauer. Ich behaupte, dass g_{\varepsilon} innerhalb einer Epsilon-Umgebung genau wie g beliebig aussehen darf und außerhalb dieser Epsilon-Umgebung immer Null ist. Falls dies wahr ist, dann folgt auch automatisch, dass \delta_{\varepsilon}(f) nur über die Epsilon-Umgebung integriert werden muss und nicht von Minus bis Plus Unendlich. \delta_{\varepsilon}(f) = \int\limits_{- \infty}^{\infty} g_{\varepsilon}(x) f(x) ~ \mathrm{d}x = \int\limits_{- \varepsilon}^{\varepsilon} g_{\varepsilon}(x) f(x) ~ \mathrm{d}x g_{\varepsilon}(x) = 0 ist für x \leq - \varepsilon und \varepsilon \leq x

Der Beweis dazu ist trivial. Man setzt einfach nur die Epsilon-Umgebung als Argument in g_{\varepsilon} ein und schon steht es da.

g_{\varepsilon}(x) = \frac{1}{\varepsilon} g(\frac{x}{\varepsilon})

Setze also erst x = - \varepsilon

g_{\varepsilon}(- \varepsilon) = \frac{1}{\varepsilon} g(\frac{- \varepsilon}{\varepsilon}) = \frac{1}{\varepsilon} g(-1)
g_{\varepsilon}(\varepsilon) = \frac{1}{\varepsilon} g(1) = 0

Veranschaulicht kann man sich also g_{\varepsilon} wie folgt vorstellen:



Wir erinnern uns, dass \int\limits_{- 1}^{1} g(x) ~ \mathrm{d}x = 1 gilt. Ich behaupte nun, dass die Fläche unter g_{\varepsilon} auch eins ist und noch viel drastischer: Ich behaupte, dass die Flächer unter g_{\varepsilon} immer eins ist, selbst wenn ich die Epsilon-Umgebung ändern würde. Was würde geschehen? g_{\varepsilon}g_{\varepsilon} konstant 1 bleibt.

um sich das zu verdeutlichen:



Das muss bewiesen werden. Betrachten wir die Fläche unter g_{\varepsilon}:

 \int\limits_{- \varepsilon}^{\varepsilon} g_{\varepsilon}(x) ~ \mathrm{d}x =  \int\limits_{- \varepsilon}^{\varepsilon} \frac{1}{\varepsilon} g(\frac{x}{\varepsilon})  ~ \mathrm{d}x

Dies ist ein Intgrand der beinahe danach bettelt substituiert zu werden. Wir führen folgende Substitution durch:

\frac{x}{\varepsilon} =: t und wissen damit aus dem obigen beweis sofort, dass t(- \varepsilon) = -1 und t( \varepsilon) = 1 ist. Dies ist wichtig da beim Substituieren die Grenzen nicht vergessen werden dürfen. Das resultierende Differential lautet dann \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{\varepsilon} \Rightarrow \mathrm{d}x = \varepsilon \mathrm{d}t, also haben wir insgesamt:

 \int\limits_{- \varepsilon}^{\varepsilon} g_{\varepsilon}(x) ~ \mathrm{d}x =  \int\limits_{- \varepsilon}^{\varepsilon} \frac{1}{\varepsilon} g(\frac{x}{\varepsilon})  ~ \mathrm{d}x = \frac{1}{\varepsilon} \int\limits_{- 1}^{1}  g(t)  ~ \varepsilon \mathrm{d}t = \frac{1}{\varepsilon} \varepsilon \int\limits_{- 1}^{1}  g(t)  ~  \mathrm{d}t = 1

Somit ist die Fläche unter g_{\varepsilon} tatsächlich immer 1.

Damit ist der Werkzeugkasten der Delta-Epsilon Funktion soweit geklärt. Nun wissen wir jedoch noch immer nicht wie sich die Funktion verhält wenn wir es wirklich mit einem Peak zu tun haben, wie er in der Physik verlangt wird. Betrachten wir also wieder \delta_{\varepsilon}

\delta_{\varepsilon} = \int\limits_{- \varepsilon}^{\varepsilon} g_{\varepsilon}(x) f(x) ~ \mathrm{d}x

Nun nutzen wir den Mittelwertsatz der Integralrechnung. Nach ihm existiert in der Epsilon-Umgebung ein \xi_{\varepsilon}, womit sich \delta_{\varepsilon} ergibt zu

f(\xi_{\varepsilon})  \int\limits_{- \varepsilon}^{\varepsilon} g_{\varepsilon}(x) ~ \mathrm{d}x

Wir haben jedoch bewiesen, dass \int\limits_{- \varepsilon}^{\varepsilon} g_{\varepsilon}(x) ~ \mathrm{d}x = 1 für alle Zeiten ist. Daraus folgt also erstaunlicherweise:

\delta_{\varepsilon}  = f(\xi_{\varepsilon})

Nun darf man nicht glauben, dass ein Grenzwert einer immer kleiner werdenden Epsilon-Umgebung nicht mehr möglich zu bilden wäre, da kein Epsilon mehr explizit auftaucht, jedoch ist \xi in dieser Umgebung und da g \in C^{0}(\mathbb{R}) folgt, dass Aufgrund der Stetigkeit ein Grenzwert Epsilon gegen Null automatisch bedeutet, dass \xi gegen Null konvergiert und es gilt daher: \lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \delta_{\varepsilon}(f) = \lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}  f(\xi_{\varepsilon}) = f(0)

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Permalink 19.09.09 19:42:14, von adrian E-Mail , 526 Wörter, Kategorien: Mathematik für Mathematiker , Einen Kommentar hinterlassen »

Handout Gymnasium Sek II - Polynome und Polynomdivision

Von Adrian Eisenmeier

Dies ist ein Handout über Polynome und die Polynomdivision für meine Nachhilfeschüler. Das Niveau entspricht der Oberstufe.

I. Was Polynome sind

Eine Funktion p: \begin{cases} \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\\ x \mapsto p(x) \end{cases} trägt den Namen "Polynom" bzw. "ganzrationale Funktion", wenn sich die Funktion wie folgt darstellen lässt:

p(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + \ldots + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n}x^{n}, \ a_{0} \ldots a_{n} \in \mathbb{R}

Die (in der Schule) reelen Zahlen a_{i} nennt man "Koeffizienten" des Polynom. Insbesondere heißt a_{n} "Leitkoeffizient" und a_{0} "absolutes Glied". Wenn a_{n} \neq 0, so heißt n der "Grad" des Polynom. Ist n=1, dann nennt man das Polynom "normiert".

Um abzukürzen verwendet man in der Darstellung eines Polynom gerne das Summen-Zeichen. Im folgenden seien p und q zwei Polynome. Also:

p(x) = \sum\limits_{j=0}^{m}  a_{j}x^{j} \ und  \ q(x) = \sum\limits_{j=0}^{n}  b_{j}x^{j} mit den natürlichen Zahlen \mathbb{N} als Indexmenge.

Behauptung:
Die Summer zweier Polynome ergibt wieder ein Polynom.

Beweis:

(p+q)(x) \\  \\= \sum\limits_{j=0}^{m}  a_{j}x^{j} + \sum\limits_{j=0}^{n}  b_{j}x^{j} \\ \\ =  \sum\limits_{j=0}^{m} (a_{j}x^{j} + b_{j}x^{j}) + \sum\limits_{j=m+1}^{n} b_{j}x^{j} \\ \\  =  \sum\limits_{j=0}^{m} (a_{j} + b_{j}) x^{j} + \sum\limits_{j=m+1}^{n}  b_{j}x^{j} \\  ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~  \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ \ ~ \ ~ \ ~ \ \ \square

Bemerkung:
In der nicht-naiven Behandlung von Polynomen lässt sich zeigen, dass mit Polynomen algebraische Strukturen beschrieben werden können. Der Grad ist in obigem Beweis irrelevant, da die Addition eine kommutative Verknüpfung ist. Der Grad des neuen Polynom ist wie zu sehen ist kleiner oder gleich dem höchsten Grad von p und q.

Nun eine weitere Behauptung die sehr wichtig wird bei den Verfahren zur Nullstellenbestimmung.

Behauptung:
Das Produkt zweier Polynome ergibt wieder ein Polynom dessen Grad die Summer der jeweilgen Grade ist.

Beweis:

(pq)(x) \\ \\ = \left( \sum\limits_{j=0}^{m}  a_{j}x^{j}\right) \left( \sum\limits_{j=0}^{n}  b_{j}x^{j} \right) \\ \\ \\ =  \sum\limits_{i=0}^{m} \sum\limits_{j=0}^{n} a_{i}b_{j} x^{i+j} \\ \\ \\ = \sum\limits_{k=0}^{m+n} \left( \sum\limits_{l=0}^{k} a_{l} b_{k-l}    \right) x^{k}  \\  ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \  ~ \ ~ \ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ \ \square

II. Hauptsatz der Algebra

Sei p ein Polynom, dann lässt sich p auch als sog. "faktorisierte Form" wie folgt schreiben:

p(x) = a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2}) \ldots (x-x_{n})

Die (x-x_{i}) Terme heißen "Linearfaktoren".

Bemerkung:
Jedes Polynom des Grades n hat in \mathbb{C} n Nullstellen, d.h. lässt sich mit n Linearfaktoren darstellen. Der Körper der komplexen Zahlen \mathbb{C} wird hier nicht behandelt, da dieser den Schulstoff verlässt.

Für reelle Koeffizienten, also ein reelles Polynom gilt:

Ist der Grad ungerade, so existiert mindestens eine reelle Nullstelle.

Das Polynom lässt sich als Produkt reeller Linear- und quadratischer Faktoren schreiben, also:

p(x) = a_{n}(x-x_{1}) \ldots (x-x_{i}) (x^{2} + a_{1}x + b_{1}) \ldots (x^{2} + a_{l}x + b_{l})

III. Die Polynomdivision

Seien p und q Polynome. Eine Funktion b: \begin{cases} \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\\ x \mapsto b(x) \end{cases} trägt den Namen "gebrochen rationale Funktion", wenn sich b wohldefiniert schreiben lässt als.

b(x) = \frac{p(x)}{q(x)}

Ist der Grad von p kleiner als der von q, so heißt b "echt gebrochen", sonst "unecht gebrochen".

Was ist die Motivation ein Verfahren wie die Polynomdivision zu entwickeln?

Die Motivation ist eine Umformung um aus einer "komplizierten" gebrochen rationalen Funktion eine "Einfachere" zu machen, mit der sich besser umgehen lässt.

\frac{s(x)}{q(x)} = r(x) \frac{p(x)}{q(x)}

Somit wird eine gebrochen rationale Funktion \frac{s(x)}{q(x)} umgeformt in einen ganzrationalen Anteil r(x) und einen echt gebrochen rationalen Anteil \frac{p(x)}{q(x)}.
Dies ist nur dann wohldefiniert, wenn der Grad von p(x) kleiner als der von q(x) ist und der Grad von s(x) größer oder gleich dem von q(x).

IV. Algorithmus einer Polynomdivision

1.) Der Zähler der gebrochen rationalen Funktion, also s(x) wird so hingeschrieben, dass für jede Potenz Platz ist.

2.) Der Quotient der gebrochen rationalen Funktion, also q(x) wird nebenan geschrieben (nur getrennt vom Divisions-Doppelpunkt), wie bei einer schriftlichen Division üblich.

3.) Durch die Wohldefiniertheit hat man nun immer für beide Terme ein Glied mit höchster Potenz welches an der ersten Stelle steht. Der Quotient dieser beider Glieder ist zu bilden.

4.) Nun wird q(x) mit dem Ergebnis aus Punkt 3. multipliziert. Das Ergebnis ist wie bei einer schriftlichen Division üblich unter s(x) zu schreiben.

5.) Erste und Zweite Zeile werden voneinander abgezogen.

6.) Punkt 3. abwärts wird nun wiederholt. Dies geschieht solange bis die Division mit oder ohne Rest abgeschlossen ist. Kriterium ob es einen Rest gibt ist der Grad der Glieder höchster Ordnung. Sobald der Grad von s(x) kleiner als der von q(x) wird, ist die Division nicht weiter durchführbar.


Beispiele und Musteraufgaben welche das Verständnis abrunden, da man "rechnen nur durch rechnen" lernt sind hier zu finden:

Link: Rechnen mit Polynomen

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Permalink 19.09.09 19:21:56, von adrian E-Mail , 665 Wörter, Kategorien: Tutorien , 1 Kommentar »

Dirac'sche Delta "Funktion" - Anwendungsorientierte Einführung

Von Adrian Eisenmeier

In der Elektrostatik wird man schnell auf den Ausdruck des Elektrischen Feldes für beliebig viele Punktladungen kommen.

\vec{E}(\vec{r})= \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon _{0}} ~ \sum\limits_{i=1}^{N} ~ \dfrac{q_{i}}{|\vec{r}-\vec{r_{i}}|^{2}} ~ \dfrac{(\vec{r}-\vec{r_{i}})}{|\vec{r}-\vec{r_{i}}|}

Bei zwei, drei kann man das noch leicht ausrechnen, aber wenn man sich ganze Festkörper ansieht ist das nicht mehr lustig. Die Lösung ist es Verteilungen zu betrachten mittels der Ladungsdichte.

\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon _{0}} ~ \int \mathrm{d}^{3}r' \ \dfrac{\varphi (r')}{|\vec{r}-\vec{r'}|^{2}} ~ \dfrac{(\vec{r}-\vec{r'})}{|\vec{r}-\vec{r'}|}

\varphi (\vec{r'})= \text{ Ladungsdichte } = \dfrac{\sum\limits_{j} ~ q_{j}}{\Delta V} \ [\dfrac{C}{m^{3}}]

\int \varphi (\vec{r'}) \ \mathrm{d}^{3}r' = Q(V)

Diracs Problemstellung: Wie sieht die Funktion \varphi(\vec{r}) aus für eine einzige Punktladung q an der Stelle \vec{r_{0}} ?

Denn man möchte den Weg ja auch wieder rückwerts gehen. Doch wie sieht die Ladungsdichte bei einer einzigen Punktladung aus? Durch überlegen, oder nachlesen kommt man darauf, dass die Funktion folgende Eigenschaften erfüllen muss:

\varphi(\vec{r}) = \begin{cases} \ 0 & \text{ wenn } \vec{r} \neq \vec{r_{0}} \\ \neq 0  &  \text{ wenn } \vec{r}=\vec{r_{0}} \end{cases} \text{ mit } \int\limits_{V} \mathrm{d}^{3}r \ \varphi(\vec{r}) = \begin{cases} q: &  \vec{r_{0}} \in V \\ 0: & \vec{r_{0}} \not\in V  \end{cases}

Diese Forderung macht Sinn, denn wir haben es ja mit einer Punktladung zu tun. Ein Punkt hat in unserer Näherung keine Ausdehnung. Desweiteren sollte sich unsere Ladung innerhalb des Volumens befinden, oder einfach gesagt, wenn der Kühlschrank leer ist, kann man auch kein Essen herausnehmen.

Zur Vereinfachung betrachte ich erstmal den eindimensionalen Fall in kartesischen Koordinaten. Später den verallgemeinerten und die Problematik mit der Dimension der Delta "Funktion" außerhalb kartesischer Koordinaten. Die Delta "Funktion" \delta (x-a) ist definiert als:

\delta (x-a) = \begin{cases} 0 & \forall \, x \neq a \\ \infty & \exists \, x=a \end{cases} \text{ mit } \int\limits_{b}^{c} \mathrm{d}x ~ \delta(x-a) =   \begin{cases}1 & \text{wenn } b \leq a \leq c \\ 0 & \text{sonst}  \end{cases}

Nun wie kann man sich das vorstellen. Man will eine Funktion, die an einer Stelle unglaublich ausschlägt, deren Peak beinahe unendlich groß ist und sonst Null ist und wenn man sie Integriert muss die Fläche immer konstant 1 Bleiben und sonst Null. Es gibt Unendlich viele Wege eine solche Funktion zu konstruieren. Eine gängige Möglichkeit ist es die Gauß'sche Glockenkurve zu mißbrauchen. In der Literatur wird manchmal dargestellt, dass dies "DER" Weg sei. Das ist ganz sicherlich falsch. Wer lust hat kann sich seine eigene bauen, denn mit unendlich viele Wege zur Delta-"Funktion" meine ich auch unendlich viele im mathematischen Sinne! Man kann sich nun Fragen wie so etwas beispielsweise Stetig sein soll. Ein Grund weshalb ich Anführungsstriche um "Funktion" setze. Da es keine Funktion im herkömmlichen Sinne ist, hat die Mathematik eine ganze Theorie dazu entwickelt. Sie heisst Theorie der Distributionen, ihr zentrales Anwendungsgebiet ist allerdings unsere Fragestellung. Mathematisch ist die Delta-"Funktion" die Ableitung der Heavyside Distribution, mit Vermerk auf weiterführende Literatur.

Spätestens seit der Fehlerrechnung dürfte diese Glockenkurve bekannt sein:

exp(- \dfrac{(x-a)^{2}}{\eta})

Eta ist wie man sieht der Faktor, der die Kurve abfallen lässt. Je kleiner Eta wird, desto schärfer wird die Funktion.

Nun macht es Sinn die Glockenkurve mit einem Vorfaktor \dfrac{1}{\sqrt{\pi \eta}} zu versehen. Dieser wurde geschickt gewählt, denn er hat den Vorteil, dass:

\int\limits_{- \infty}^{\infty} ~ \dfrac{1}{\sqrt{\pi \eta}} ~ exp(- \dfrac{(x-a)^{2}}{\eta}) ~ \mathrm{d}x =1

Wenn Eta nun kleiner wird wächst der Vorfaktor und die Funktion wird schmäler, aber ihre Fläche bleibt weiterhin 1! Also:

\delta(x-a) = \lim_{n \to 0}  \ \dfrac{1}{\sqrt{\pi \eta}} ~ exp(- \dfrac{(x-a)^{2}}{\eta})

und damit haben wir das mathematische Hilfsmittel Paul Diracs gefunden, welches Punktteilchen beschreibt.

Die Rechenregeln dazu:

1.) Dimension der Delta "Funktion"

\delta(x-a) hat die Dimension \dfrac{1}{\text{Laenge}}. Das Ergebnis der Integration ist ohne Dimension. Damit das erfüllt ist muss der Integrand obige Dimension haben, sonst würde nichts dimensionsloses heraus kommen. So kürzt sie sich heraus.

2.) Das Produkt der Delta "Funktion" mit einer Funktion f(x)

\int\limits_{b}^{c} ~ f(x) \delta (x-a) ~ \mathrm{d}x = \int\limits_{b}^{c} ~ f(a) \delta (x-a) ~ \mathrm{d}x

logischerweise, denn wäre x nicht gleich a wäre dem Integranden f(x) eh egal, da man mit Null multiplizieren würde. f(a) ist wie man sieht damit konstant:

= f(a) ~ \int\limits_{b}^{c} ~ \delta (x-a) ~ \mathrm{d}x = f(a) \cdot \begin{cases} 0 & \text{wenn } a \not\in ~ [b,c] \\ 1 & \text{wenn } a \in [b,c] \end{cases}

3.) Symetrie der Delta-"Funktion"

\delta (x) = \delta (x-0) = \delta (-x)

4.) Komposition, eine Funktion y(x) als Argument der Delta "Funktion" 

\delta (y(x)) = \begin{cases} \ 0 & \forall x \, \ \ y(x) \neq 0 \\ \neq 0 & \forall x_{i} \, y(x_{i})=0 \end{cases}

Nur für Nullstellen der inneren Funktion nimmt die äußere einen Wert an.
Wenn das Argument der Delta "Funktion" eine Nullstelle aufweist, dann gilt:

\delta (y(x)) = \sum\limits_{i} \delta(x-x_{i}) \cdot \dfrac{1}{|\dfrac{dy}{dx}|_{x_{i}} |}

Denn:

\int\limits_{- \infty}^{\infty} ~ f(y) \delta(y) ~ \mathrm{d} y = f(y=0)

nun eine Varianblensubstitution

\int\limits_{- \infty}^{\infty} ~ f(x) \delta(y(x)) \dfrac{dy}{dx} ~ \mathrm{d}x

uns interessiert aber

\int\limits_{- \infty}^{\infty} ~ f(x) \delta(y(x)) ~ \mathrm{d}x

Abhilfe schafft man mit dem Vorfaktor \dfrac{1}{\dfrac{dy}{dx}}

damit wird

\dfrac{1}{\dfrac{dy}{dx}} ~ \int\limits_{- \infty}^{\infty} ~ f(y) \delta(y) ~ \mathrm{d} y = f(y=0)

\dfrac{1}{\dfrac{dy}{dx}} ~ \int\limits_{- \infty}^{\infty} ~ f(x) \delta(y(x)) \dfrac{dy}{dx} ~ \mathrm{d}x

und damit kürzt man sich den substituierten Term passend, aber die Regel vier findet sich in der ersten Aussage wieder.

Ein Beispiel dazu:

y(x)=x^{2} - a

Die Nullstellen sind klarerweise x_{1} = \sqrt{a}, \ x_{2} = - \sqrt{a}

nun nach obiger Regel 4:

\dfrac{dy}{dx}|_{x_{i}} = 2x_{i} = \begin{cases} x_{1} = \ \sqrt{a} & \Rightarrow \ |2\sqrt{a}| \\ x_{2} = - \sqrt{a} & \Rightarrow ~ |-2\sqrt{a}| \end{cases}

\delta(x^{2}-a) = \dfrac{\delta(x-\sqrt{a})}{2\sqrt{a}} + \dfrac{\delta(x+\sqrt{a})}{2\sqrt{a}}

und damit ist der Ausdruck reduziert auf bekannte Delta "Funktionen", bei denen man weiss wie zu integrieren ist.

Delta "Funktion" im 3-Dimensionalen Raum

In kartesisches Koordinaten für den Peak bei \vec{r_{0}}

\delta(\vec{r} - \vec{r_{0}}) = \delta(x-x_{0}) ~ \delta(y-y_{0}) ~ \delta(z-z_{0}) \cdot \dfrac{1}{Laenge^{3}}

\int ~ f(\vec{r}) \delta(\vec{r} - \vec{r_{0}}) \mathrm{d}x \mathrm{dy} \mathrm{d}z

= \int \mathrm{d}x \int \mathrm{d}y \int \mathrm{d}z \delta(x-x_{0}) ~ \delta(y-y_{0}) ~ \delta(z-z_{0}) f(\vec{r_{0}})

= \begin{cases} f(\vec{r_{0}}) & \ \vec{r_{0}} \in V \\ \ 0 & \ \text{sonst} \end{cases}

Augen auf im Strassenverkehr!

Wie man sieht hat die Delta "Funktion" in kartesischen Koordinaten die Dimension \dfrac{1}{Laenge} \cdot \dfrac{1}{Laenge} \cdot \dfrac{1}{Laenge} = \dfrac{1}{Laenge^{3}}

Je nach gewähltem Koordinatensystem, kann die Dimesion sich verändern, denn beispielsweise erfüllen Azimut- und Polarwinkel nicht diese Dimensionsbedingung. Da muss dann je nach System aufgepasst werden was man rechnet.

Die Ladungsdichte einer Punktladung

Zurück zur Elektrostatik und dem Ausgangsproblem:

\vec{E} (\vec{r}) = \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int\limits_{V} ~ \mathrm{d}^{3} r' ~ \dfrac{\varphi(\vec{r'})}{|\vec{r} - \vec{r'}|^{2}} ~ \dfrac{(\vec{r} - \vec{r'})}{|\vec{r} - \vec{r'}|}

und nun mit der Delta "Funktion"

\varphi(\vec{r'}) = q_{0} \delta(\vec{r'}-\vec{r_{0}})

= \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} q_{0} \dfrac{(\vec{r}-\vec{r_{0}})}{|\vec{r}-\vec{r_{0}}|} \dfrac{1}{|\vec{r}-\vec{r_{0}}|^{2}}

und wir sind wieder da wo wir angefangen haben und auch hinwollten.

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Permalink 19.09.09 18:59:22, von adrian E-Mail , 924 Wörter, Kategorien: Mathematik für Physiker , Einen Kommentar hinterlassen »

Handout Gymnasium Sek II - Rotationskörper

Von Adrian Eisenmeier

Dies ist ein Handout über Rotationskörper für meine Nachhilfeschüler. Das Niveau entspricht der Oberstufe.

Rotationskörper entstehen durch Drehung einer ebenen Kurve um eine in der Kurvenebene liegende Achse. In der Schule wird i.d.R. ausschließlich die Rotation um die x-Achse im kartesischen Koordinatensystem untersucht. Da dies ein Hand Out für die Oberstufe in Mathematik sein soll, wird nur die Rotation um die x-Achse anschaulich behandelt.

Wichtige Anwendung, besser gesagt: Wozu das Ganze? In erster Linie um Volumen zu bestimmen. Berühmtestes Beispiel und Vater der Theorie: Kepler'sche Fassregel zur Bestimmung des Volumen eines Weinfasses, oder wieviel Flüssigkeit bekommt man in ein geschwungenes Glas?

Rotation einer Kurve um die x-Achse

Die über dem Intervall a \leq x \leq b gelegene Kurve mit der Funktionsgleichung y=f(x) erzeuge bei Rotation um die x-Achse einen Rotationskörper.



Dieser wird jetzt durch Schnitte senkrecht zur Drehachse in eine große Zahl n von Scheiben gleicher Dicke \Delta x zerlegt. Davon sieht man sich nun eine beliebige Scheibe an. Hier grau unterlegt.



Man sieht sofort, dass alle n Scheiben Zylinder mit verschiedenen Radien y=f(x), aber gleicher Höhe \Delta x  sind. Ein Zylinder, welcher im Mittelpunkt die x-Achse bestitzt kann ich als Rotation eines Rechteckes um die x-Achse auffassen. Das Volumen einer solchen Zylinderscheibe ist wie bekannt Grundfläche mal Höhe und aufgrund der Symetrie ist die Grundfläche immer ein Kreis. Also V = \pi r^{2} h



Der Radius ist y, deswegen y zum Quadrat und die Höhe ist Delta x.

Genauso verfährt man mit allen anderen Scheiben. Da die Rechtecke allerdings bei zu breiten Delta x zu ungenau sind, nimmt man einen Grenzwert indem man die Anzahl der Scheiben gegen Unendlich laufen lässt, damit werden die Abstände, also die Höhe der Zylinder immer kleiner und man erhält die Integralformel:

V_{x} = \pi \int\limits_{a}^{b} ~ (f(x))^{2} ~ \mathrm{d}x

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Permalink 19.09.09 18:54:24, von adrian E-Mail , 302 Wörter, Kategorien: Tutorien , 1 Kommentar »

Kreisfläche in kartesischen Koordinaten

Von Adrian Eisenmeier

Besonders zu Beginn des Studiums ist vielen unklar wozu man verschiedene Koordinatensysteme nutzt. Den Grund werde ich hier an einem Beispiel verdeutlichen.

Berechnen wir die Kreisfläche in Polarkoordinaten:

A = \int ~ \mathrm{d}A = \int\limits_{0}^{R} ~ \int\limits_{0}^{2 \pi}  r \mathrm{d} \varphi \mathrm{d} r = 2 \pi \frac{R^{2}}{2} = \pi R^{2}

sehr elegant in Polarkoordinaten. 

Nun das Selbe in kartesischen Koordinaten

A =  \int \int \mathrm{d}A = \int \int \mathrm{d}x \mathrm{d}y

Zeichne einen Kreis in ein kartesisches Koordinatensystem. Es bietet sich an den Ursprung des System als Mittelpunkt zu nehmen. Dann läuft die x-Integration von -R bis R.

Die y-Integration hat dann Werte die von x abhängen. die Untere Grenze ist - \sqrt{R^{2} - x^{2}} und die obere ist  \sqrt{R^{2} - x^{2}} (Pythagoras)

Also:

A = \int\limits_{- R}^{R} ~ \int\limits_{- \sqrt{R^{2} - x^{2}}}^{\sqrt{R^{2} - x^{2}}}  \mathrm{d}y \mathrm{d}x

und nun ausrechnen.

 A = 2 \int\limits_{- R}^{R} \sqrt{R^{2} - x^{2}} \mathrm{d}x 

 = 2  \left[ \dfrac{x}{2} \sqrt{R^{2} - x^{2}} + \dfrac{R^{2}}{2} \arcsin(\dfrac{x}{R})  \right]_{-R}^{R} 

 = R^{2} [ \arcsin(1) - \arcsin(-1) ]

= \pi R^{2}

In Polarkoordinaten macht das irgendwie mehr Spaß würde ich sagen.

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Permalink 19.09.09 18:46:00, von adrian E-Mail , 168 Wörter, Kategorien: Mathematik für Physiker , Einen Kommentar hinterlassen »

Basisvektoren in Zylinderkoordinaten

Von Adrian Eisenmeier

Wir betrachten folgende Abbildung:

\mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \ (x,y,z) \rightarrow (r,\varphi,z)

Wie man einen Vektor im kartesischen darstellt wissen wir:

\vec{a}=a_{x}\vec{e}_{x}+a_{y}\vec{e}_{y}+a_{z}\vec{e}_{z} \ \text{ mit } a_{x}, a_{y}, a_{z} \in \mathbb{R}, \ \text {und } \ \vec{e}_{x}, \vec{e}_{y}, \vec{e}_{z} \in \mathbb{R}^{3}

Genau so stellst man auch einen Vektor in Zylinderkoordinaten dar, allerdings mit anderen Basisvektoren, nämlich denen aus dem Zylinderkoordinatensystem die es zu bestimmen gilt.

\vec{e}_{r} ist axial nach außen gerichtet.
\vec{e}_{\varphi} ist tangential an den Kreis gerichtet.
\vec{e}_{z} liegt parallel zur z-Achse.

Axial nach außen, tangential an den Kreis, parallel zur z-Achse. Daraus folgt sofort, dass die drei Basisvektoren rechtwinklig zueinander sind. Der Vektor \vec{e}_{z} ist bekannt. \vec{e}_{z} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

Den \vec{e}_{r} kann man sich einfach bilden. \vec{e}_{r} = \cos(\varphi) \vec{e}_{x} + \sin(\varphi) \vec{e}_{y} + 0 \vec{e}_{z}

r ist die Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreieckes, welches in der xy-Ebene liegt. Dann bekommt man durch Vektoraddition aus dem x- und dem y-Anteil.

x = r \cos(\varphi)
y = r \sin(\varphi)

Und z ist Null, weil r und Phi in der xy-Ebene liegen.

Also ist der Vektor der axial nach außen gerichtet ist:

\vec{e}_{r} = \begin{pmatrix}\cos(\varphi) \\ \sin(\phi) \\ 0 \end{pmatrix}

Und damit fehlt jetzt nur noch der letzte Einheitsvektor. Diesen bekommt man jetzt ganz einfach. Wie am Anfang festgestellt sind die drei Vektoren senkrecht zueinander. Also bilden wir einfach das Kreuzprodukt aus aus den beiden die wir schon haben und bekommen somit den dritten geschenkt. Du wirst, wenn du das Kreuzprodukt ausrechnest sofort e_{\varphi} erhalten

\vec{e}_{\varphi} = \begin{pmatrix}- \sin(\varphi) \\ \cos(\phi) \\ 0 \end{pmatrix}

und damit lautet die Abbildung von den Kartesischen Koordinaten in die Zylinderkoordinaten:

\mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}

(x,y,z) \rightarrow (r, \varphi, z)

Jede lineare Abbildung - diese hier ist sogar abgesehen von der Null ein Diffeomorphismus - impliziert eine Matrix.

\begin{pmatrix}\vec{e}_{r} \\ \vec{e}_{\varphi} \\ \vec{e}_{z} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\varphi) & \sin(\varphi) & 0 \\ - \sin(\varphi) & \cos(\varphi) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\vec{e}_{x} \\ \vec{e}_{y} \\ \vec{e}_{z} \end{pmatrix}

Und so transformierst man die Systeme ineinander.

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Permalink 19.09.09 18:38:15, von adrian E-Mail , 291 Wörter, Kategorien: Mathematik für Physiker , 2 Kommentare »

Handout Gymnasium Sek II - Der Kondensator

Von Adrian Eisenmeier

Dies ist ein Handout über den Kondensator für meine Nachhilfeschüler. Das Niveau entspricht der Oberstufe.

Die Theorie der Elektrostatik wird nun praktisch angewendet. Ein Kondensator ist eine Anordnung von zwei Leiterflächen. Diese Anordnung kann beliebig sein, in der Praxis werden es aber gegenüberliegende Platten, Kugelschalen oder Zylinderoberflächen sein.
Beide Flächen tragen betragsmäßig die gleiche Ladung Q, aber mit entgegen gesetztem Vorzeichen.
Das Verhältnis der Ladung zur Spannung U, also zur Potentialdifferenz zwischen den Leiteroberflächen, heißt Kapazität C des Kondensators. Sie ist. i.A. ein sog. Tensor zweiter Stufe, wird hier aber in den einfachsten Fällen von Anordnungen, also Platten, - Kugel, - und Zylinderkondensatoren ein Skalar sein, ein sog. Tensor Nullter Stufe.

C=\frac{Q}{U} Das Verhältnis aus Ladung und Spannung trägt die Einheit Farad (S.I.)

Unter Vernachlässigung von Randerscheinungen kann das E-Feld zwischen den Leiterflächen mit dem Abstand d als homogen angesehen werden und natürlich stehen die Feldlinien senkrecht zur Oberfläche nach der dritten und ersten Maxwellschen Gleichung. (Maxwellsche Gleichungen nach der DPG-Frühjahrstagung 1997)
Das Potential nimmt linear zwischen den Oberflächen von Minus nach Plus zu. Desweiteren liegen die Äquipotentialflächen parallel zu den Leiteroberflächen.

E=\frac{U}{d}

Die Kapazität C wird durch den Gaußschen Satz bestimmt indem die geschlossene Fläche nur eine einzige der beiden Leiteroberflächen umschließt. Deswegen ist die Kapazität eine von der Geometrie abhängige Größe.

C = \varepsilon \varepsilon_{0} \frac{A}{d}

Epsilon ist die relative Dielektrizitätaskonstante. Für Luft ist sie etwa eins.

Ein Dielektrikum ist ein Nichtleiter. Schiebt man dieses zwischen einen Kondensator der von der Spannungsquelle getrennt wurde steigt seine Kapazität obwohl die Ladung gleichbleibt. Die relative Dielektrizitätskonstante Epsilon gibt an um wieviel dies geschah. Im Vakuum ist sie 1.

\varepsilon = \frac{C_{\text{Dielektrikum}}}{C_{\text{Vakuum}}}

Desweiteren sinkt auch das E-Feld und damit auch die Energie. Grund ist die Polarisation welche Dipolmomente induziert.

Um eine Ladung von der einen auf die andere Seite einer Leiteroberfläche zu bringen benötigt man die Arbeit

\mathrm{d}W= U \mathrm{d}q = \frac{q \mathrm{d}q}{C}

W = \int ~ \frac{q \mathrm{d}q}{C}

E= \frac{1}{2} \frac{q^{2}}{C} =\frac{1}{2}CU^{2}

Kondensatoren können in Reihe oder parallel geschalten werden. Es ergibt sich ein Ersatzkondensator mit der Kapazität:

C = \sum\limits_{i} C_{i} ~ \text{Parallelschaltung}

\frac{1}{C} = \sum\limits_{i} \frac{1}{C_{i}} ~ \text{Reihenschaltung}

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Permalink 19.09.09 18:00:50, von adrian E-Mail , 337 Wörter, Kategorien: Tutorien , Einen Kommentar hinterlassen »

Handout Gymnasium Sek II - Elektrostatik

Von Adrian Eisenmeier

Dies ist ein Handout über die Elektrostatik für meine Nachhilfeschüler. Das Niveau entspricht der Oberstufe.

I Theorie (für die Schule eindimensional)

I.i) Elektrische Ladung

Ladung ist eine Materialeigenschaft. Die Griechen fanden das experimentell heraus beim Reiben von Bernstein, welcher im griechischen "elektron" heisst. Die triboelektrische Reihe ist experimentell bestimmt worden. Je weiter unten ein Material in ihr steht, desto grösser ist seine Affinität zu Elektronen.

Es gibt positive und negative Ladungen, man kann sie nicht erzeugen sondern nur voneinander trennen. Sie bleiben in einem abgeschlossenem System erhalten. (Kontinuitätsgleichung)

Ladungen sind gequantelt (Elektrolyse und Milikan Versuch) und treten in einem ganzzahligen vielfachen der Elementarladung e \approx 1.6 \cdot 10^{-19} C auf. Gleiche Ladungen stoßen sich ab, ungleiche ziehen sich an.

Ladungen sind an Masse gebunden (Elektronen, Protonen, Ionen) und lassen sich transportieren, z.b. durch isolierte Metallkugeln

Ladungen sammeln sich nur auf Oberflächen an.

I.ii) Coulomb Kraft

Kraft zwischen elektrischen Ladungen. Experimentell in Analogie zum Gravitationsgesetz gefunden. (Cavendish und Eötvös Versuch) Die Kraft zwischen Ladungen ist umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands zwischen den Ladungen. In SI-Einheiten und eindimensional:

F_{2} = - F_{1} = \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \dfrac{q_{1}q_{2}}{r^{2}} Wobei \varepsilon_{0} = 8,8 \cdot 10^{-12} \dfrac{C}{Nm^{2}} die Dielektrizitätskonstante ist.

I.iii) Elektrisches Feld

Ein Hilfskonstrukt um unsichtbare Kräfte zu beschreiben.

E = \dfrac{F}{q}

Elektrische Felder sind Quellen oder Senken von Ladungen. Die Feldlinien liegen tangential am Feld. Je näher sie zusammen sind, desto größer ist die Feldstärke.

I.iv) Potential, Spannung und Energie

Um eine Ladung um eine Distanz \Delta x zu verschieben muss man Arbeit verrichten. Für die elektrische Spannung U gilt.



Für ein elektrostatisches Feld ist dieses Integral nur vom Anfangs und dem Endwert abhängig, nicht aber für Werte zwischen diesen Grenzen. Man sagt dazu, dass das Feld in diesem Fall konservativ sei.
Durch die Verschiebung der Ladung im E-Feld hat sich auch seine Lageenergie geändert.

E = qU

Während das E-Feld umgekehrt proportional zum Quadrat abfällt, fällt das Potential wie auch das Gravitationspotential nur umgekehrt proportional ab.

I.v) Influenz und Faraday Käfig

Leiter haben im Gegensatz zu Nichtleitern frei bewegliche Ladungsträger. Ist ein Körper in einem E-Feld wirkt eine Kraft auf die Ladungsträger und wenn sie beweglich sind, werden sie sich ausrichten. Diesen Vorgang nennt man Influenz. Sie erfolgt solange bis das Feld im Inneren der Leiters verschwindet. Dann hat man einen Faraday Käfig (Auto)

II Frage-Antwort Spiel für die mündliche Prüfung

Was ist Elektrostatik?
Elektrostatik behandelt Effekte die durch Ladungen erzeugt werden. Thema sind elektrisches Feld, Spannung, Influenz und Coulomb'sche Kraft.

Wie baue oder erschaffe ich elektrische Ladungen?
Gar nicht!!! Ladungen können nur räumlich getrennt werden

Was ist ein elektrisches Feld und wie mache ich eines?
Das E-Feld repräsentiert einen elektrischen Zustand im Raum. Die Felder sind die Quellen an positiven und die Senken an negativen Ladungen.

Welche Kraft erfährt so ein Teilchen in einem E-Feld?
F = qE

Was ist denn eine elektrische Spannung, oder Potential?
Die Frage nach dem el. Potential geht von der Frage aus, welche Arbeit ich verrichten muss um Ladungen im el. Feld von einem Ort zum anderen zu bringen. Man darf sich das wie oben unter I.iv definieren, weil das E-Feld konservativ ist. Was heisst das? Nicht Thema der Schule.
Bei der Ladungsverschiebung gab es eine Energieänderung E=qU

Was ist Influenz?
Die Ladungsverschiebung in einem Material, welches in einem E-Feld ist.

Und wie kann man Ladung messen?
Mit einem Elektrometer

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Permalink 19.09.09 17:53:45, von adrian E-Mail , 540 Wörter, Kategorien: Tutorien , Einen Kommentar hinterlassen »

Tunnel durch die Erde

Von Adrian Eisenmeier

Untersuchen wir die Bewegung einer Masse m in einem Erdkanal durch unseren Planeten.

Wir bohren einen Tunnel durch die Erde. Weil wir diese als Kugel approximieren liegt es nahe diesen durch den Mittelpunkt zu bauen. Das sähe wie folgt aus:



Stellen wir die Bewegungsgleichung auf und lösen diese um ein Weg-Zeit-Gesetz zu bestimmen, damit wir unser System konkret determinieren können. Dissipation sei zunächst vernachlässigt und die Dichte \varrho sei konstant. f ist die Gravitationskonstante. Somit ist die einzigste signifikante Kraft die Gewichtskraft. Die Masse bewegt sich entlang der gewählten x-Achse und dessen Position ist somit eindeutig bestimmt. Bewegt sich der Körper, so ergibt sich entsprechend eine reduzierte Erdkugel mit dem Radius r= |x| und der Masse M(x) Da diese reduzierte Masse von x abhängt nimmt sie bis zum Erdmittelpunkt ab und nach dem passieren der Mitte genau so wieder zu.

Überlegen wir uns zunächst wie diese reduzierte Erdmasse aussieht. Masse entspricht Dichte multipliziert mit dem Volumen V(x), welches natürlich auch von der x-Koordinate abhängt, also:

M(x) = \varrho \cdot V(x) = \varrho \frac{4}{3} \pi r^{3} = \varrho \frac{4}{3} \pi |x|^{3}

Dank der Symmetrie liegt der Schwerpunkt der reduzierten Erdmasse im Mittelpunkt und mit Newtons Gravitationsgesetz erhalten wir:

F(X) = f ~ \dfrac{m \cdot M(x)}{|x|^{2}} = f ~ \dfrac{m \cdot \varrho \frac{4}{3} \pi |x|^{3} }{|x|^{2}} = f \cdot m \cdot \varrho \frac{4}{3} \pi |x| und natürlich |x| \leq R

Machen wir uns noch Gedanken über die Orientierung. Die Kraft kann nur nach oben oder unten gerichtet sein und es gilt wegen der Geometrie -R \leq x \leq R Befindet sich die Masse oberhalb des Mittelpunktes, so ist die Kraft negativ und damit nach unten gerichtet, ist sie unterhalb des Mittelpunktes, so ist sie positiv und die Kraft nach oben gerichtet.

Also können wir nun unsere Newton-Bilanz aufstellen:

m \ddot{x} = - f \cdot m \cdot \varrho \frac{4}{3} \pi |x|

\ddot{x} + f \cdot \varrho \frac{4}{3} \pi x = 0 Definieren wir:

\omega^{2} := f \cdot  \varrho \frac{4}{3} \pi

\ddot{x} + \omega^{2} x = 0

Dies ist die fertige Bewegungsgleichung unseres Problems und die muss man schon einmal gesehen haben ;-)

Eine homogene lineare DGL der Ordnung zwei gilt es zu lösen. Das ist wie es in jedem beliebigen Lehrbuch steht langweilig, deswegen machen wir es algebraisch  :)

Machen wir uns erstmal Gedanken zu den Randbedingungen. Das intuitivste ist natürlich, dass x(0)= R und \dot{x}(0) = 0

Transformieren wir den Originalbereich in das zugehörige Bild:

\mathcal{L}\{x(t)\} = X(s)

[s^{2}  \cdot X(s) - s \cdot R - 0] + \omega^{2} \cdot X(s) = \mathcal{L}\{ 0 \} = 0

Lösen des Problems im Bild:

s^{2} \cdot X(s) - s \cdot R + \omega^{2} \cdot X(s) = (s^{2} + \omega^{2}) \cdot X(s) = R \cdot s 

X(s) = R \cdot \dfrac{s}{s^{2} + \omega^{2}}

und transformieren vom Bild zurück in das Original:

x(t) = \mathcal{L}^{-1} \{ X(s) \} 

= \mathcal{L}^{-1} \left\{ R \cdot \dfrac{s}{s^{2} + \omega^{2}} \right\}

= R \cdot  \mathcal{L}^{-1}  \left\{\dfrac{s}{s^{2} + \omega^{2}} \right\}

= R \cdot \cos(\omega t)

Damit haben wir eine gewöhnliche harmonische Schwingung wie wir sie kennen. (Entsprechend wäre die DGL natürlich auch "gewöhnlich" lösbar gewesen)

Der Radius R entspricht dementsprechend der Amplitude der Schwingung und die Kreisfrequenz lautet \omega = \sqrt{\omega^{2}} = \sqrt{f \cdot  \varrho \frac{4}{3} \pi}

Problem gelöst _{\blacksquare}

Quellen: Lothar Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Anwendungsbeispiele, 5 Auflage, Vieweg

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Permalink 19.09.09 17:48:47, von adrian E-Mail , 506 Wörter, Kategorien: Physik , Einen Kommentar hinterlassen »

Von der Menge zum Vektorraum

Von Adrian Eisenmeier

Ziel dieses Artikel ist es ausgehend vom Begriff der Menge zu erklären was ein Vektorraum ist. Dabei soll insbesondere auf das "endlose" aufzählen von Axiomen verzichtet werden, wie es leider in zu vielen Lehrbüchern und Vorlesungen gemacht wird, sondern das Thema wird präzise und knapp in die Sprache der Algebra übersetzt.

Erst wollen wir den Standort gehörig erwägen, auf dem jeder von uns hält, damit wir umso redlicher Licht und Wetter teilen können - Gotthold Ephraim Lessing

Benötigte Hilfsmittel auf dem Weg zum Vektorraum

Begriffe der Mengenlehre

Georg Cantor, der Schöpfer der Mengenlehre, schreibt in seinem Werk "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre" von 1895 folgende Definition:
Unter einer "Menge" verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die "Elemente" von M genannt werden) zu einem Ganzen.

Gekennzeichnet werden sie i.d.R. durch geschwungene Klammern: Hier die Menge des Obstes in einer Schale: \text{Obstschale } =\{\text{Apfel, Birne, Kirsche}\} Dies ist z.B. eine Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten unserer Anschaung.

Das Elementsymbol \in bedeutet, dass ein Objekt zur Menge gehört. \text{Apfel} \in \text{Obstschale }
Dagegen ist \text{Ananas } \notin \text{Obstschale }

Mengeninklusion:
Das Symbol \subset wird "Inklusion" genannt und bedeutet, dass wir es mit einer Teilmenge zu tun haben. Da der Apfel beispielsweise in der Obstschale enthalten ist, lässt sich dies schreiben als \{\text{Apfel}\} \subset \{\text{Apfel, Birne, Kirsche}\}
In dieser Definition wird nicht ausgeschossen, dass die Mengen auch gleich sein können. Sind sie es, so nutzt man \subseteq um den Sachverhalt zu betonen. \{\text{Apfel, Birne, Kirsche}\} \subseteq \{\text{Apfel, Birne, Kirsche}\}
Dies würde auch gelten, wenn man von "rechts nach links" lesen würde.

Gleichheit zweier Mengen:
Zwei Mengen sind gleich wenn sie die selben Elemente haben. Möchte man so eine Gleichheit prüfen, so muss die Inklusion in beide Richtungen möglich sein.

Das kartesische Produkt:
Das kartesische Produkt A \times B zweier Mengen A und B ist die Menge aller geordneter Paare (a,b) mit a \in A und b \in B. Also: A \times B := \{ (a,b): a \in A, b \in B \}


Benötigter Begriff aus der Analysis: Die Abbildung

Auf Abbildungen stößt man täglich. Jedem Kraftfahrzeug wird ein Nummernschild zugeordnet. Zu jedem Menschen gibt es einen individellen Fingerabdruck, im Netzwerk wird jeder Netzwerkkarte eine eigene MAC-Adresse zugeordnet. Formal läuft der Begriff der Abbildung auf folgende Definition hinaus.

Definition Abbildung:

f: \begin{cases} A \rightarrow B\\ a \mapsto f(a) \end{cases}

Eine Abbildung f aus einer Menge A in eine Menge B ist eine Vorschrift, die jedem Element a aus A genau ein Element b = f(a) aus f(A) \subseteq B zuordnet. Dabei nennt man A=D(f) die Definitionsmenge, f(A) das Bild und B=W(f) wird Wertemenge getauft.


Definition: Innere Verknüpfung
Sei M eine nichtleere Menge. Eine innere Verknüpfung auf M ist eine Abbildung M \times M \rightarrow M
Den Wert der Funktion auf dem Element (a,b) \in M \times M notiert man als a \circ b
Das Paar (M, \circ) heißt Menge M mit innerer Verknüpfung.

Ein Beispiel dazu:
\left(M,+) Eine Menge M mit der Addition als Verknüpfung. Also ist die Abbildung:

M \times M \rightarrow M
(a,b) \mapsto a+b = Summe der Elemente a und b


Nun lasen sich erste algebraische Strukturen bilden:

Zum Monoid:
Eine Verknüpfung heisst assoziativ, falls (ab)c = a(bc) für alle a,b,c \in M gilt.
Man nennt e \in M ein Einselement oder neutrales Element bezüglich der Verknüpfung auf M, wenn ea=a=ae für alle a \in M gilt.

Ein Monoid ist eine Menge mit innerer Verknüpfung, so dass die Verknüpfung assoziativ ist und ein neutrales Element bzgl. dieser Verknüpfung existiert.


Vom Monoid zur Gruppe:
Ein Element b \in M heißt invers zu einem gegebenem Element a \in M, wenn ab=e=ba gilt. Es ist dann b eindeutig durch a bestimmt. Dies nennt man i.A. wohldefiniert, d.h. es existiert, ist eindeutig, sinnergebend,  in sich schlüssig, widerspruchsfrei, denn wäre ab'=e=b'a, so folgt b=eb=b'ab=b'e=b'
I.d.R nennt man das zu a inverse Element, falls es existiert, a^{-1}

Eine Gruppe ist ein Monoid G, so dass jedes Element von G ein inverses Element besitzt.
Eine Gruppe heißt abelsch bzw. kommutativ, wenn zusätzlich ab=ba für jedes a, b \in G gilt

Die Menge aller Galileo-Transformationen von einem Inertialsystem in ein anderes bilden zum Beispiel eine Gruppe. Der Gruppenbegriff (Exakt so wie er hier definiert wurde) ist extrem wichtig für die Naturwissenschaft in unzähligen Anwendungen.


Von der Gruppe zum Ring:
Ein Ring ist eine Menge R mit zwei inneren Verknüpfungen "+" und "\cdot" mit den Eigenschaften:

1.) (R,+) ist eine abelsche Gruppe

2.) Die Verknüpfung "\cdot" ist assoziativ.

3.) Es gelten die Distributivgesetze. Das bedeutet: (a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c und c \cdot (a+b) = c \cdot a + c \cdot b für a, b, c \in R

Wenn R zusätzlich noch ein neutrales Element bzgl. der Multiplikation besitzt, dann heißt R ein "Ring mit Eins". Man kann entsprechend auch abkürzend sagen, dass ein "Ring mit Eins" eine Menge mit zwei inneren Verknüpfungen ist, so dass (R,+) eine abelsche Gruppe bildet und (R, \cdot) ein Monoid und Distributivgesetze gelten.


Vom Ring mit Eins zum Körper:
Sei R ein Ring mit Eins. Existiert zu jedem Element von (R, \cdot) ein Inverses Element, so heisst R ein "Schiefkörper".
Ein Schiefkörper ist eine Menge mit zwei inneren Verknüpfungen, so dass (R,+) eine abelsche Gruppe bildet und (R, \cdot) eine Gruppe und Distributivgesetze gelten.

Ist (R, \cdot) sogar eine abelsche Gruppe, also gilt in dieser Gruppe zusätzlich noch das Kommutativgesetz, so heißt R ein "Körper". Zukünftig sollen Körper mit \mathbb{K} bezeichnet werden.
Ein Körper \mathbb{K} ist eine Menge mit zwei inneren Verknüpfungen, so dass (R,+) eine abelsche Gruppe bildet und (R, \cdot) auch eine abelsche Gruppe bildet und Distributivgesetze gelten.

Nun muss erklärt werden, was Mathematiker und Physiker unter dem wichtigen Begriff "Operator" verstehen.

Definition: Operationen
Seien M und N nichtleere Mengen. Eine Abbildung \mathcal{O}:  M \times N \rightarrow N heißt "Operation" von M auf N. Man spricht: "M operiert auf N bezüglich der Abbildung \mathcal{O}".
Der Wert der Abbildung \mathcal{O} auf (a,x) \in M \times N bezeichnet man als ax \in N. Für alle a \in M ist N \rightarrow N mit x \mapsto ax, eine Abbildung von N.
Mit M operiert auf N ist also gemeint, dass allen a \in M eine Abbildung N \rightarrow N zugeordnet wird.


Jetzt endlich: Der Vektorraum
Sei \mathbb{K} ein Körper. Eine Menge V heißt "Vektorraum" bzw. "\mathbb{K}-Vektorraum" bzw "Linearer Raum" bzw. "\mathbb{K}-Modul" wenn für V folgendes gilt:

V besitzt eine innere Verknüpfung "+", so dass (V,+) eine abelsche Gruppe bildet.

V besitzt eine Operation \mathcal{O}: \mathbb{K} \times V \rightarrow V

Die Multiplikation mit Skalaren ist assoziativ und die skalare Multiplikation besitzt ein neutrales Element. Diese Operation, man sagt auch äußere Verknüpfung, ist jedoch kein Monoid, obwohl sie von den Eigenschaften so aussieht. Der Unterschied ist: Die Verknüpfung beim Monoid ist eine innere, hier haben wie jedoch eine äußere. Es würde die Abgeschlossenheit verletzen, die skalare Multiplikation Monoid zu nennen und ist deshalb verboten.

Desweiteren gelten Regeln, welche formal wie Distributivgesetze aussehen, jedoch keine echten Distributivgesetze sind, denn das verletzt die Abgeschlossenheit. Selbiges Argument wie bei der Operation.

Die Elemente von V heißen "Vektoren"

Beispiele und Musteraufgaben welche das Verständnis abrunden, da man "rechnen nur durch rechnen" lernt sind in den Musteraufgaben zu finden.

Link: Musteraufgaben

Quellen:
H. Zieschang: Lineare Algebra und Geometrie, 1 Auflage 1997, Teubner Verlag
Serge Lang: Graduate Texts in Mathematics - Algebra, Third Edition 2004, Springer Publishing

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Permalink 19.09.09 14:46:06, von adrian E-Mail , 1172 Wörter, Kategorien: Mathematik für Mathematiker , Einen Kommentar hinterlassen »

Handout Universität - Newtons Axiome und der Begriff der Arbeit

Von Adrian Eisenmeier

Sir Isaac Newton schrieb 1687 sein berühmtes Werk Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Dieses Publikation welche teils empirisch, teils theoretischen Hintergrund hat, bildet das Fundament der klassischen Mechanik und man kann Newton als den ersten Theoretischen Physiker der Geschichte bezeichnen.

Merke: Ist in einem Bezugssystem der Raum homogen, isotrop und die Zeit homogen, so nennt man dieses Bezugssystem ein Intertialsystem.

Mit Raumhomogenität und Raumisotropie ist gemeint, dass kein Punkt und keine Richtung im Raum ausgezeichnet sind. Homogenität der Zeit bedeutet, dass kein Zeitpunkt ausgezeichnet ist. Das impliziert insbesondere, dass ein Bezugsystem welches sich relativ zu einem Inertialsystem geradlinig-gleichförmig bewegt auch ein Inertialsystem ist.

Lex prima:
In einem Inertialsystem ist der Impuls eines sich frei Bewegenden Körpers erhalten. Der Körper verharrt in seiner gleichförmig-geradlinigen Bewegung. Dies nennt man Trägheitssatz.

Lex secunda:
\vec{F} = \dot{\vec{p}}

Lex tertia:
Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleichgroße, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio). Dies nennt man Wechselwirkungsgesetz

Lex quarta:
Kräfte addieren sich vektoriell. Dies nennt man Superpositionsprinzip.

\vec{F} = \sum \limits_{i} \vec{F}_{i}

Desweiteren sei die Zeit absolut und die Masse in einem abgeschlossenen System zeitlich konstant.

Arbeit

Unter Arbeit versteht man bei einer konstanten Kraft das Produkt aus dem zurückgelegten Weg und der Kraftkomponente in Bewegungsrichtung. Die Arbeit ist ein Skalar. Bedenke, dass das Skalarprodukt zweier orthogonaler Vektoren Null ist! Arbeit kann positiv oder negativ sein.
Positiv: Arbeit wird am Körper verrichtet. E erhält Energie.
Negativ: Der Körper verrichtet Arbeit. Er gibt Energie ab.

W = \vec{F} \cdot \vec{s} = F \cdot s \cdot \cos \alpha

\sum\limits_{i} W_{i} = \sum\limits_{i} \vec{F}_{i} \cdot \Delta \vec{s} \Rightarrow W = \int\limits_{s_{1}}^{s_{2}} ~ \vec{F} \cdot \mathrm{d} \vec{s}

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Permalink 19.09.09 14:35:30, von adrian E-Mail , 279 Wörter, Kategorien: Tutorien , Einen Kommentar hinterlassen »

Handout Gymnasium Sek II - Stationäre Magnetfelder

Von Adrian Eisenmeier

Dies ist ein Handout über stationäre Magnetfelder für meine Nachhilfeschüler. Das Niveau entspricht der Oberstufe.

I Der elektrische Strom

Elektrischer Strom wird definiert durch den Fluß der elektrischen Ladung \mathrm{d}q in der Zeit \matrhm{d}t durch den Querschnitt der Fläche A. Im SI-System mit der Einheit Ampère.

I = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} \ ~ \ [I]=\frac{C}{s}=A

Ein zeitlich konstanter Strom von einem Ampère, der durch zwei im Vakuum parallel verlaufende unendlich lange, dünne Leiter im Abstand von einem Meter fließt, erzeugt zwischen den Leitern eine Kraft von 2 \cdot 10^{-7} N je Meter Leitungslänge.

II Statische Magnetfelder
Magnetfelder können von Permanentmaneten oder durch elektrische Ströme erzeugt werden. Zwischen magnetischer Feldstärke B (auch magnetische Induktion genannt) und magnetischer Erregung H besteht im Vakuum die Relation \vec{B} = \mu_{0} \vec{H} wobei My-Null die Permiabilitätskonstante ist.

Stationäre Magnetfelder sind Quellenfrei. Daraus folgt, dass es keine magnetischen Monopole gibt. (Zumindest nicht beobachtbar) Die Feldlinien sind geschlossen. Dies folgt aus der 2. Maxwell Gleichung der Elektrodynamik.

Das Magnetfeld um einen langen geraden Draht, durch den der Strom I fließt, ist zylindersymetrisch und hat radialverlauf.
Das Magnetfeld einer langen Zylinderspule mit n Windungen per m Spulenlänge ist im Inneren homogen. Windungsradius=Abstand zur nächsten Windung. Dies sind Helmholtzspulen.

Auf eine mit der Geschwindigkeit v in einem elektischen Feld E und einem magnetischen Feld B bewegte Probeladung q wirkt die Lorentkraft:

\vec{F} = q (\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})

Sie wurde experimentell bestimmt.
Bedenke die Eigenschaften des Kreuzprodukt. (Mathematik)

III Frage-Antwort Spiel

1.) Was ist der Unterschied zwischen magnetischen und elektrischen Feldern?

Magnetische Feldlinien sind immer geschlossen da es keine mag. Monopole gibt nach Maxwell 2.


2.) Wie wird das Magnetfeld definiert?

Definiert wird die Magnetfeldstärke durch die Lorentzkraft F auf eine Ladung q, die sich mit der Geschwindigkeit v durch das Magnetfeld bewegt.


3.) Wie hängen H- und B-Feld zusammen und was ist die Permiabilitätskonstante?

\vec{B} = \mu \mu_{0} \vec{H} Die Permiabilitätskonstante ist ein Maß für den Einfluss von Materie auf das Magnetfeld. My ist die relative Permiabilitätskonstante. Für das Vakuum ist sie 1.


4.) Wie kann man das Verhältnis aus Masse und Ladung eines Elektrons bestimmen?

Durch das Fadenstrahlrohr. Lorentkraft=Zentripetalkraft und Energieerhaltung reichen um das Verhältnis zu bestimmen.


5.) Was ist ein Zyklotron?

Ein Teilchenbeschleuniger. Er beschleunigt Protonen und schwere Ionen.

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Permalink 19.09.09 14:27:06, von adrian E-Mail , 354 Wörter, Kategorien: Tutorien , Einen Kommentar hinterlassen »

Was ist ein elektrisches Netzwerk?

Von Adrian Eisenmeier

In der Experimentalphysik wird schnell von "elektrischen Netzwerken" gesprochen, jedoch wird in den wenigste Fällen erklärt, wie man dies mathematisch auf ein konsistentes Fundament stellen kann.

Sei (E,C) ein endliches elektrisches Netzwerk. Dabei ist E ein endliches System von Punkten welche paarweise mit leitenden Drähten verbunden sind und C(x,y) \in [0, \infty ) ~ x,y \in E sei die elektrische Leitfähigkeit. Insbesondere verstehen wir unter C(x,y)=0 physikalisch keine Leitfähigkeit und aus physikalischen Gründen muss natürlich auch die Symmetrie C(x,y) = C(y,x) gelten. Sei (E,K) der korrespondierende Graph und C(x,y) = \mathrm{id}_{\{ <x,y> \in K \}} , so heißt (E,C) neutrales Netzwerk auf (E,K)

Ferner sei R(x,y) = \dfrac{1}{C(x,y)} \in (0,\infty] der sogenannte ohmsche Widerstand einer Verbindung <x,y>.

Betrachte die Abbildung I: E \times E \rightarrow \mathbb{R}. Sie trägt den Namen Fluss auf E \setminus A, sofern I(x,y) = -I(y,x) erfüllt ist, I also antisymmetrisch ist und die Kirchhoffschen Regeln in unserem elektrischen Netzwerk gelten.

I(x) = 0 für x \in E \setminus A und I(A) = 0

mit: I(x) := \sum\limits_{y \in E} I(x,y) und I(A) = \sum\limits_{x \in A} I(x)

Physikalisch bedeutsamer wird der elektrische Fluss. Ein Fluss I ist ein elektrischer Fluss, falls eine Abbildung u: E \rightarrow \mathbb{R} existiert, auf welcher das sogenannte ohmsche Gesetz gilt.

I(x,y) = \dfrac{u(x) - u(y)}{R(x,y)} \ \forall x,y \in E, x \neq y

Ist dies erfüllt, so heißt I(x,y) die elektrische Stromstärke zwischen x und y und u(x) die elektrische Spannung an x

Quellen: Achim Klenke, Wahrscheinlichkeitstheorie, 2 Auflage, Springer

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Permalink 19.09.09 14:17:04, von adrian E-Mail , 246 Wörter, Kategorien: Physik , 1 Kommentar »

Irrglaube zu den „härtesten“ Studiengängen und das Belächeln von sog. „leichten“ Fächern

von Adrian Eisenmeier

Ich bin Student der Physik und Mathematik.
Da das Institusviertel für Naturwissenschaft ein eigener „Elfenbeinturm“ mit kleiner Mensa ist, lernt man viele Studenten kennen. Welche aus der eigenen Fakultät, so wie auch Chemiker, Biologen, Ingenieure und Mediziner. Dazu kommen einschlägige Fachforen im Internet.

Ein Professor in theoretischer Physik meinte mal: „Wem es zu schwer ist, kann ja noch Ingenieur werden“ (Theoretische Physiker haben i.a. nicht viel Achtung vor Praktikern, was Ingenieure sind) Ein anderer Professor meinte nur als Kommentar zu einer Durchfallquote von 62% in einer Prüfung: „Tja, Sie studieren nicht BWL“

Unter Studenten unserer Gattung werden oft Fächer wie BWL, Geschichte und ganz extrem Germanistik und Sprachen i.a.  belächelt, gar als lächerlich herabgestuft. Ich gebe zu, dass ich dies ganz zu Beginn meines Studiums auch tat, da ein Student der Physik nicht selten eine 60-Stunden-Woche aufwärts hat, während Germanistikstudenten z.B. nicht mal die Hälfte an Arbeit investieren müssen. Eine Bekannte von mir, die Psychologie studierte und zur Physik wechselte, meinte nur, dass sie in ihrem Psychologiestudium nicht mal ansatzweise so hart arbeiten musste wie jetzt. Eine weitere Bekannte hatte ein bestandenes Diplom in Soziolgie, fing mit Physik als Zweitstudium an und brach es nach einem halben Semester wegen Überforderung wieder ab.

Es wird oft behauptet, dass naturwissenschaftliche Studiengänge das „Härteste“ sind.

Doch wenn man genauer hinter die Fassade sieht, erkennt man dass dieses Denken und diese Argumentationen falsch sind. Ich vertrete mittlerweile die These, dass es vom Schwierigkeitsgrad keinen Unterschied macht ob ich Physik oder Germanistik studiere! Viele meiner Kommilitonen der Physik und Naturwissenschaft werden nun vermutlich aufschreien wollen, doch lasst mich erklären weshalb ich das denke:

Rechnet man die Zeit, die es braucht, einen Schein (Leistungsnachweis, darum dreht sich alles in der Uni) mittelprächtig zu bekommen, gar nicht ausgezeichnet, oder gerade so mit einer 4,0 durch gekommen, sondern mittelprächtig, dann kann man von Person zu Person verschieden sagen wie lange man daran arbeiten muss. Ich spreche vom Nacharbeiten der Vorlesung, dem Wiederholen des Lehrstoffes und am extremsten dem Bearbeiten der Übungsblätter, welche gerade in der Physik locker Tage beanspruchen um nur eine Teilaufgabe zu lösen. Jeder ist individuell, trotzdem lassen sich Mittelwerte angeben wie lange man dazu braucht und diese sind bei Studenten einer Naturwissenschaft ganz sicher höher als bei anderen Fächern. Dies war der Grund, weshalb ich am Anfang andere Fächer belächelte und dies ist auch der Grund, weshalb viele aus der Masse der kommenden Naturwissenschaftler oftmals nur belächelnd  über Sprachen- oder Wirtschaftsstudiengänge reden. Dazu kommt vermutlich noch die Tatsache, dass Naturwissenschaftler oftmals Praktika und Laborübungen haben, während die anderen ihre sogenannte vorlesungsfreie Zeit geniessen…

Ich behaupte aber, dass dies ein Denken des sprichwörtlichen „Weg des geringsten Widerstandes“ ist!

Sieht man sich an, wie eifrig, ich nenne es mal strebsam Studenten wirklich sind, dann wird man feststellen, dass der grösste Teil gerade das macht, was er machen muss und ja nicht mehr. Ausnahmen gibt es logischerweise, das sind dann meist die Menschen, die bösartig „Nerds“ und „Freaks“ genannt werden….

Ich habe es an etlichen Physik- und Mathematikstudenten gesehen…

Die Fragen die sich stellen müssen: Warum gehe ich an eine Universität? Warum studiere ich? Weshalb studiere ich gerade dieses eine Fach? Will ich mein Leben lang etwas arbeiten, das mir keinen Spaß macht, nur des Geldes wegen oder studiere ich das was mich, ich nenne es mal beruflich erfüllt?

Die Antwort ist erschreckend einfach: „Weil ich Spaß an diesem oder jenem habe und damit mein Geld verdienen will“

Sollte aber nicht gerade dann jemand mehr machen als nur das Allernötigste?  Das Problem liegt auf der Hand:

Das „Mindeste“ wird als Maßstab genommen und genau das ist der Fehler! So ist es klar, dass Physik das Härteste wird. Wer studiert und sich für das entscheidet, was er auch wirklich mag, dem wird es leicht fallen über das Mindeste hinaus zu gehen. Das lässt sich für alle Fächer verallgemeinern und die Menschen, die beispielsweise Germanistik studieren – und ich bin überzeugt davon, dass viele dies auch tun – lernen und beschäftigen sich über ihr „Mindeste“ hinaus mit ihrem Fach, sofern sie es wirklich interessiert und kommen auch auf 40 bis 60 Stunden pro Woche.

Natürlich gilt dies nicht für Studenten, die ihr Fach hassen, aber solche Leute sollten sich dann auch nicht durchquälen sondern das Fach wechseln oder abbrechen.

Also bleibt die Frage: „Was ist der härteste Studiengang?“

Meine Antwort dazu lautet:  „Es ist der, der dich am wenigsten interessiert!“

Ich bin in meinem Physikstudium bis jetzt sehr erfolgreich gewesen und ich als Physik- und Mathematikstudent sage: „Ich würde kein Semester in einer Sprachwissenschaft oder schlimmer in BWL bestehen, denn das ist überhaupt nicht mein Interessensgebiet und damit für mich unglaublich schwer zu lernen“

Langer Rede kurzer Sinn: Studiert das, was euch Spaß macht und „Härte“ ist ein sehr dehnbarer Begriff. Was euch Spaß macht ist nicht hart, sondern das, was ihr verabscheut ist es. Ich erhoffe mir, dass evtl. der ein oder andere „überhebliche“ Student der Naturwissenschaft sich mal Gedanken dazu macht und sich selbst fragt wieviel er denn außerhalb des Mindestmaßes macht und soviel Zeit hat man auch im Physikstudium, das kann ich mit Sicherheit bestätigen. Wäre ich mathematisch unbegabt und hätte Interesse und Talent für Sprachen (welches ich leider nicht habe, was meine Rechtschreibfehler vermutlich belegen…) würde ich auch in der Sprachwissenschaft eine 60-Stunden-Woche haben, da es das wäre, das mich am meisten interessieren würde.

Natürlich gibt auch viele, die ihr Studium schleifen lassen aus Gründen, die ich hier nicht abklären kann und will. (Arbeit, Familie, Hobbies, private Ziele etc. etc.) Diese Leute haben aber m.M.n. nicht mal ansatzweise das Recht darüber zu diskutieren was andere Studenten an anderen Studiengängen zu bewältigen haben oder nicht….

Überheblichkeit ist keine gute Tugend

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Permalink 19.09.09 14:09:46, von adrian E-Mail , 954 Wörter, Kategorien: Die Gedanken sind frei , 2 Kommentare »